已知函数y=|x|+1，y=x2-2x+2+t，y=12(x+1-tx)（x＞0）的最小值恰好是方程x3+ax2+bx+c=0的三个根，其中0＜t＜1．（Ⅰ）求证：a2=2b+3；（Ⅱ）设（x1，M），（x2，N）是函数f（x）=x3+ax2+bx+c的两-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数y=|x|+1，y=x2-2x+2+t，y=12(x+1-tx)（x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

已知函数y=|x|+1，y=

x2-2x+2+t

，y=

1

2

(x+

1-t

x

)（x＞0）的最小值恰好是方程x³+ax²+bx+c=0的三个根，其中0＜t＜1．
（Ⅰ）求证：a²=2b+3；
（Ⅱ）设（x₁，M），（x₂，N）是函数f（x）=x³+ax²+bx+c的两个极值点．
①若|x1-x2|=

2

3

，求函数f（x）的解析式；
②求|M-N|的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）三个函数的最小值依次为1，

1+t

，

1-t

，（3分）
由f（1）=0，得c=-a-b-1
∴f（x）=x³+ax²+bx+c=x³+ax²+bx-（a+b+1）=（x-1）[x²+（a+1）x+（a+b+1）]，
故方程x²+（a+1）x+（a+b+1）=0的两根是

1-t

，

1+t

．
故

1-t

+

1+t

=-(a+1)，

1-t

?

1+t

=a+b+1．（4分）
(

1-t

+

1+t

)2=(a+1)2，即2+2（a+b+1）=（a+1）²
∴a²=2b+3．（5分）
（Ⅱ）①依题意x₁，x₂是方程f'（x）=3x²+2ax+b=0的根，
故有x1+x2=-

2a

3

，x1x2=

b

3

，
且△=（2a）²-12b＞0，得b＜3．
由|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

a2-3b

3

=

2

3-b

3

（7分）

2

3-b

3

=

2

3

；得，b=2，a²=2b+3=7．
由（Ⅰ）知

1-t

+

1+t

=-(a+1)＞0，故a＜-1，
∴a=-

7

，c=-(a+b+1)=

7

-3
∴f(x)=x3-

7

x2+2x+

7

-3．（9分）
②|M-N|=|f（x₁）-f（x₂）|
=|（x₁³-x₂³）+a（x₁²-x₂²）+b（x₁-x₂）|
=|x₁-x₂|?|（x₁+x₂）²-x₁x₂+a（x₁+x₂）+b|
=

2

3-b

3

|(-

2a

3

)2-

b

3

+a?(-

2a

3

)+b|
=

4

27

(3-b)

3

2

（或

4

27

(

9-a2

2

)

3

2

）．（11分）
由（Ⅰ）(a+1)2=(

1-t

+

1+t

)2=2+2

1-t2

∵0＜t＜1，∴2＜（a+1）²＜4，
又a＜-1，
∴-2＜a+1＜-

2

，
-3＜a＜-

2

-1，3+2

2

＜a2＜9（或

2

＜b＜3）（13分）
∴0＜|M-N|＜

4

27

(3-

2

)

3

2

．（15分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数y=|x|+1，y=x2-2x+2+t，y=12(x+1-tx)（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：