已知函数f（x）=x-2m2+m+3（m∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上为增函数．（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x-2m2+m+3（m∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上为增函数．（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x-2m2+m+3（m∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上为增函数．
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=log_a[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由函数f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)在（0，+∞）上为增函数，
得到-2m²+m+3＞0
解得-1＜m＜

3

2

，又因为m∈Z，
所以m=0或1．
又因为函数f（x）是偶函数
当m=0时，f（x）=x³，不满足f（x）为偶函数；
当m=1时，f（x）=x²，满足f（x）为偶函数；
所以f（x）=x²；
（2）g(x)=loga(x2-ax)，令h（x）=x²-ax，
由h（x）＞0得：x∈（-∞，0）∪（a，+∞）
∵g（x）在[2，3]上有定义，
∴0＜a＜2且a≠1，∴h（x）=x²-ax在[2，3]上为增函数．
当1＜a＜2时，g（x）_max=g（3）=log_a（9-3a）=2，
a2+3a-9=0?a=

-3±3

5

2

因为1＜a＜2，所以a=

-3+3

5

2

．
当0＜a＜1时，g（x）_max=g（2）=log_a（4-2a）=2，
∴a²+2a-4=0，解得a=-1±

5

，
∵0＜a＜1，∴此种情况不存在，
综上，存在实数a=

-3+3

5

2

，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x-2m2+m+3（m∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上为增函数．（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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