已知函数f(x)=|1-1x|，（x＞0）．（Ⅰ）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求证：ab＞1；（Ⅱ）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值，若不存-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=|1-1x|，（x＞0）．（Ⅰ）当0＜a＜b，且f（a）=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=|1-

1

x

|，（x＞0）．
（Ⅰ）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求证：ab＞1；
（Ⅱ）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）若存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]（m≠0），求m的取值范围．

试题来源：淄博一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）证明：∵x＞0，∴f(x)=

1-

1

x

，x≥1

1

x

-1，0＜x＜1.

∴f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上是增函数．
由0＜a＜b，且f（a）=f（b），可得 0＜a＜1＜b和

1

a

-1=1-

1

b

，即

1

a

+

1

b

=2．
∴2ab=a+b＞2

ab

．…（3分）
故

ab

＞1，即ab＞1．…（4分）
（II）不存在满足条件的实数a，b．
若存在满足条件的实数a，b，使得函数y=f(x)=|1-

1

x

|的定义域、值域都是[a，b]，
则a＞0，f(x)=

1-

1

x

，x≥1

1

x

-1，0＜x＜1.

①当a，b∈（0，1）时，f(x)=

1

x

-1在（0，1）上为减函数．
故

f(a)=b

f(b)=a.

，即

1

a

-1=b

1

b

-1=a.

，解得a=b．
故此时不存在适合条件的实数a，b．…（6分）
②当a，b∈[1，+∞）时，f(x)=1-

1

x

在（1，+∞）上是增函数．
故

f(a)=a

f(b)=b.

，即

1-

1

a

=a

1-

1

b

=b.

此时a，b是方程x²-x+1=0的根，此方程无实根．
故此时不存在适合条件的实数a，b．…（8分）
③当a∈（0，1），b∈[1，+∞）时，由于1∈[a，b]，而f（1）=0?[a，b]，
故此时不存在适合条件的实数a，b．
综上可知，不存在适合条件的实数a，b．…（10分）
（III）若存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]．
则a＞0，m＞0．
①当a，b∈（0，1）时，由于f（x）在（0，1）上是减函数，故

1

a

-1=mb

1

b

-1=ma.

．
此时刻得a，b异号，不符合题意，所以a，b不存在．
②当a∈（0，1）或b∈[1，+∞）时，由（ II）知0在值域内，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．
故只有a，b∈[1，+∞）．
∵f(x)=|1-

1

x

|在[1，+∞）上是增函数，
∴

f(a)=ma

f(b)=mb.

，即

1-

1

a

=ma

1-

1

b

=mb.

∴a，b是方程mx²-x+1=0的两个根，即关于x的方程mx²-x+1=0有两个大于1的实根．…（12分）
设这两个根为x₁，x₂，则x₁+x₂=

1

m

，x₁?x₂=

1

m

．
∴

△＞0

(x1-1)+(x2-1)＞0

(x1-1)(x2-1)＞0.

，即

1-4m＞0

1

m

-2＞0.

解得0＜m＜

1

4

．
故m的取值范围是0＜m＜

1

4

．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=|1-1x|，（x＞0）．（Ⅰ）当0＜a＜b，且f（a）=..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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