已知二次函数f（x）=x2-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．设数列{an}的前n项和Sn=f（n）．（1）求函数-数学试题及答案

1、试题题目：已知二次函数f（x）=x2-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

已知二次函数f（x）=x²-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）在各项均不为零的数列{c_n}中，若ci?ci+1＜0，则称ci，ci+1为这个数列{c_n}一对变号项．令cn=1-

a

an

（n为正整数），求数列{c_n}的变号项的对数．

试题来源：宣武区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一个元素，
∴△=a²-4a=0?a=0或a=4，
当a=4时，函数f（x）=x²-4x+4在（0，2）上递减，
故存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
当a=0时，函数f（x）=x²在（0，+∞）上递增，
故不存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
综上：a=4，f（x）=x²-4x+4．
（2）由（1）可知：Sn=n²-4n+4．当n=1时，a₁=S₁=1，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n²-4n+4）-[（n-1）2-4（n-1）+4]=2n-5，
∴an=

1n=1

2n-5n≥2

（3）法一：由题设cn=

-3n=1

1-

4

2n-5

n≥2

，
∵当n≥2时，cn+1-cn=

4

2n-5

-

4

2n-3

=

8

(2n-5)(2n-3)

，
∴当n≥3时，数列{cn}递增，∵c3=-3＜0，又由cn=1-

4

2n-5

≥0，得n≥5，
可知c4?c5＜0，即n≥3时，有且只有一对变号项，
又∵c1=-3，c2=5，c3=-3，即c1?c2＜0，c2?c3＜0，∴此处有2对变号项．
综上可得：数列{cn}的变号项有3对．
法二：当i≥2时，ci=1-

4

2i-5

=

2i-9

2i-5

，
∵ci?ci+1＜0，∴

2i-9

2i-5

?

2i-7

2i-3

＜0，
∴

3

2

＜i＜

5

2

或

7

2

＜i＜

9

2

，∵i≥2，i∈N*，∴i=2或4，
即c2?c3＜0，c4?c5＜0，此处有2对变号项，
又∵c1=-3，c2=5，即c1?c2＜0，此处有一对变号项，
综上可得：数列{cn}的共有3对变号项．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知二次函数f（x）=x2-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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