已知二次函数f（x）=x2-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．设数列{an}的前n项和Sn=f（n）．（1）求函数-数学试题及答案

1、试题题目：已知二次函数f（x）=x2-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

已知二次函数f（x）=x²-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（ x₁）＞f（ x₂）成立．设数列{a_n}的前n项和 S_n=f（n）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求数列{ a_n}的通项公式．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素，
∴△=a²-4a=0，解得a=0或a=4．
当a=0时，函数f（x）=x²在（0，+∞）上递增，不满足条件②；
当a=4时，函数f（x）=x²-4x+4在（0，2）上递减，满足条件②．
综上得a=4，即f（x）=x²-4x+4．
（2）由（1）知S_n=n²-4n+4=（n-2）²，
当n=1时，a₁=S₁=1；
当n≥2时a_n=S_n-S_n-1=（n-2）²-（n-3）²=2n-5．
∴an=

1，n=1

2n-5，n≥2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知二次函数f（x）=x2-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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