已知二次函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R，a＞0），设方程f（x）=x的两个实数根为x1和x2．（1）如果x1＜2＜x2＜4，设二次函数f（x）的对称轴为x=x0，求证：x0＞-1；（2）如果|x1|＜2，|x2-x1|=2，求-数学试题及答案

1、试题题目：已知二次函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R，a＞0），设方程f（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

已知二次函数f（x）=ax²+bx+1（a，b∈R，a＞0），设方程f（x）=x的两个实数根为x₁和x₂．
（1）如果x₁＜2＜x₂＜4，设二次函数f（x）的对称轴为x=x₀，求证：x₀＞-1；
（2）如果|x₁|＜2，|x₂-x₁|=2，求b的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设g（x）=f（x）-x=ax²+（b-1）x+1，
∵a＞0，
∴由条件x₁＜2＜x₂＜4，
得g（2）＜0，g（4）＞0．即

4a+2b-1＜0

16a+4b-3＞0

由可行域可得

b

a

＜2，∴x0=-

b

2a

＞-1．
（2）由g（x）=ax²+（b-1）x+1=0，知x1x2=

1

a

＞0，故x₁与x₂同号．
①若0＜x₁＜2，则x₂-x₁=2（负根舍去），
∴x₂=x₁+2＞2．
∴

g(2)＜0

g(4)＞0

，即

4a+2b-1＜0

16a+4b-3＞0

?b＜

1

4

；
②若-2＜x₁＜0，则x₂=-2+x₁＜-2（正根舍去），

g(-2)＜0

g(-4)＞0

，即

4a-2b+3＜0

16a-4b+5＞0

?b＞

7

4

．
综上，b的取值范围为b＜

1

4

或b＞

7

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知二次函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R，a＞0），设方程f（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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