已知函数f（x）=lg（ax2+2x+1）．（1）若f（x）的定义域是R，求实数a的取值范围及f（x）的值域；（2）若f（x）的值域是R，求实数a的取值范围及f（x）的定义域．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lg（ax2+2x+1）．（1）若f（x）的定义域是R，求实数a的取值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lg（ax²+2x+1）．
（1）若f（x）的定义域是R，求实数a的取值范围及f（x）的值域；
（2）若f（x）的值域是R，求实数a的取值范围及f（x）的定义域．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为f（x）的定义域为R，所以ax²+2x+1＞0对一切x∈R成立．
由此得

a＞0

△=4-4a＜0

解得a＞1．
又因为ax²+2x+1=a（x+

1

a

）²+1-

1

a

＞0，
所以f（x）=lg（ax²+2x+1）≥lg（1-

1

a

），
所以实数a的取值范围是（1，+∞），
f（x）的值域是[lg(1-

1

a

)，+∞)．
（2）因为f（x）的值域是R，所以u=ax²+2x+1的值域?（0，+∞）．
当a=0时，u=2x+1的值域为R?（0，+∞）；
当a≠0时，u=ax²+2x+1的值域?（0，+∞）等价于

a＞0

4a-4

4a

≤0.

解之得0＜a≤1
所以实数a的取值范围是[0.1]当a=0时，由2x+1＞0得x＞-

1

2

，
f（x）的定义域是（-

1

2

，+∞）；
当0＜a≤1时，由ax²+2x+1＞0
解得x＜-

1+

1-a

a

或x＞-

1-

1-a

a

f（x）的定义域是(-∞，-

1+

1-a

a

)∪(-

1-

1-a

a

，+∞)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lg（ax2+2x+1）．（1）若f（x）的定义域是R，求实数a的取值..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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