设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足条件：①当x∈R时，f（x-4）=f（2-x），且x≤f(x)≤12(1+x2)；②f（x）在R上的最小值为0．（1）求f（1）的值及f（x）的解析式；（2）若g（x）=f（x）-k2x在[-1，1]上-数学试题及答案

1、试题题目：设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足条件：①当x∈R时，f（x-4）=f（2-x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）满足条件：①当x∈R时，f（x-4）=f（2-x），且x≤f(x)≤

1

2

(1+x2)；②f（x）在R上的最小值为0．
（1）求f（1）的值及f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-k²x在[-1，1]上是单调函数，求k的取值范围；
（3）求最大值m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵x≤f(x)≤

1

2

(1+x2)在R上恒成立，
∴1≤f(1)≤

1

2

(1+12)=1，即f（1）=1
∵f（x-4）=f（2-x），∴函数图象关于直线x=-1对称，
∴-

b

2a

=-1，b=2a．
∵f（1）=1，∴a+b+c=1
又∵f（x）在R上的最小值为0，
∴f（-1）=0，即a-b+c=0，
由

b=2a

a+b+c=1

a-b+c=0

，解得

a=c=

1

4

b=

1

2

，
∴f(x)=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

；
（2）由（1）得，g(x)=f(x)-k2x=

1

4

[x2-2(2k2-1)x+1]，
∴g（x）对称轴方程为x=2k²-1，
∵g（x）在[-1，1]上是单调函数，
∴2k²-1≤-1或2k²-1≥1，
解得k≥1或k≤-1或k=0，
∴k的取值范围是k≥1或k≤-1或k=0．
（3）假设存在存在t∈R满足条件，
由（1）知f(x)=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

=

1

4

(x+1)2，
∴f（x+t）≤x?（x+t+1）²≤4x且x∈[1，m]，
?

t≥-x-2

x

-1

t≤-x+2

x

-1

在[1，m]上恒成立?

t≥(-x-2

x

-1)max

t≤(-x+2

x

-1)min

∵y =-x-2

x

-1在[1，m]上递减，
∴(-x-2

x

-1)max=-4，
∵y =-x+2

x

-1在[1，m]上递减，
∴(-x+2

x

-1)min=-m+2

m

-1=-(

m

-1)2
∴-4≤t≤-(

m

-1)2，∴-(

m

-1)2≥-4，(

m

-1)2≤4，
∵m＞1，∴

m

-1≤2，
∴m≤9，∴m的最大值为9．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足条件：①当x∈R时，f（x-4）=f（2-x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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