已知数列{an}满足：a1=2t，t2-2tan-1+an-1an=0，n=2，3，4，…，（其中t为常数且t≠0）．（1）求证：数列{1an-t}为等差数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）设bn=an(n+1)2，求数列{bn}-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足：a1=2t，t2-2tan-1+an-1an=0，n=2，3，4，…，（其..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足：a₁=2t，t²-2ta_n-1+a_n-1a_n=0，n=2，3，4，…，（其中t为常数且t≠0）．
（1）求证：数列{

1

an-t

}为等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设bn=

an

(n+1)2

，求数列{b_n}的前n项和为S_n．

试题来源：安徽模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）∵t²-2ta_n-1+a_n-1a_n=0，
∴（t²-ta_n-1）-（ta_n-1-a_n-1a_n）=0，
即t²-ta_n-1=ta_n-1-a_n-1a_n，
∵t-a_n-1≠0
∴

1

an-t

=

an-1

t(an-1-t)

=

an-1-t+t

t(an-1-t)

=

1

t

+

1

an-1-t

即

1

an-t

-

1

an-1-t

=

1

t

∴数列{

1

an-t

}为等差数列；
（2）由（I）得数列{

1

an-t

}为等差数列，公差为

1

t

，
∴

1

an-t

=

1

a1-t

+

1

t

（n-1）=

n

t

∴a_n=

t

n

+t
（3）bn=

an

(n+1)2

=

(n+1)t

n

(n+1)2

=

t

n(n+1)

=t?(

1

n

-

1

n+1

)
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=t[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=t（1-

1

n+1

）=

nt

n+1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足：a1=2t，t2-2tan-1+an-1an=0，n=2，3，4，…，（其..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：