在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为AC的中点，AB=2．（I）求证：BD1∥平面ACM；（Ⅱ）求证：B1O⊥平面ACM；（Ⅲ）求三棱锥O-AB1M的体积．-数学试题及答案

1、试题题目：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为AC的中点，AB=2．（I）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-20 07:30:00

试题原文

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为DD₁的中点，O为AC的中点，AB=2．
（I）求证：BD₁∥平面ACM；
（Ⅱ）求证：B₁O⊥平面ACM；
（Ⅲ）求三棱锥O-AB₁M的体积．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面平行的判定与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）证明：
连结BD，设BD与AC的交点为O，
∵AC，BD为正方形的对角线，故O为BD中点；
连结MO，
∵O，M分别为DB，DD₁的中点，
∴OM∥BD₁，…（2分）
∵OM?平面ACM，BD₁?平面ACM…（3分）
∴BD₁∥平面ACM．　　　　　　　　　　　 …（4分）
（II）∵AC⊥BD，DD₁⊥平面ABCD，且AC?平面ABCD，
∴AC⊥DD₁；且BD∩DD₁=D，∴AC⊥平面BDD₁B₁…（6分）
OB₁?平面BDD₁B₁，∴B₁O⊥AC，…（7分）
连结B₁M，在△B₁MO中，MO2=12+(

2

)2=3，B1O2=22+(

2

)2=6，B1M2=12+(2

2

)2=9，
∴B1M2=MO2+B1O2，
∴B₁O⊥OM…（10分）
又OM∩AC=O，∴B₁O⊥平面AMC； …（11分）
法二：∵

MD

BO

=

DO

BB1

=

1

2

，∠ODM=∠B₁BO=90°，
∴△MDO∽△OBB₁，
∴∠MOD=∠OB₁B，∠MOD+∠B₁OB=90°，
∴B₁O⊥OM．
（Ⅲ）可证AO⊥平面OB₁M，则VO-AB1M=VA-OB1M=

1

3

×AO×S△OB1M=

1

3

×

2

×

1

2

×OB1×OM=

1

3

×

2

×

1

2

×

6

×

3

=1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为AC的中点，AB=2．（I）..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面平行的判定与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面平行的判定与性质”。

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