平面直角坐标系有点P（1，cosx），Q（cosx，1），x∈[-π4，π4]；（1）求向量OP和OQ的夹角θ的余弦用x表示的函数f（x）；（2）求cosθ的最值．-数学试题及答案

1、试题题目：平面直角坐标系有点P（1，cosx），Q（cosx，1），x∈[-π4，π4]；（1）求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-17 07:30:00

试题原文

平面直角坐标系有点P（1，cosx），Q（cosx，1），x∈[-

π

4

，

π

4

]；
（1）求向量

OP

和

OQ

的夹角θ的余弦用x表示的函数f（x）；
（2）求cosθ的最值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：用数量积表示两个向量的夹角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵P（1，cosx），Q（cosx，1），
∴

OP

=（1，cosx），

OQ

=（cosx，1）
∴

OP

?

OQ

=2cosx，|

OP

||

OQ

|=1+cos²x
∴cosθ=

OP

?

OQ

|

OP

||

OQ

|

=

2cosx

1+cos2x

=f（x）　
（2）f（x）=cosθ=

OP

?

OQ

|

OP

||

OQ

|

=

2cosx

1+cos2x

=

2

cosx+

1

cosx

且x∈[-

π

4

，

π

4

]
∴cosθ∈[

2

，1]　
令g（x）=x+

1

x

设x₁，x₂∈[

2

，1]，且x₁＜x₂
∵g′(x)=1-

1

x2

＜0在[

2

，1]上恒成立（此处也可以利用单调性的定义判断）
∴g（x）=x+

1

x

在[

2

，1]上是减函数．
∴2≤cosx+

1

cosx

≤

3

2

∴

2

3

≤f(x)≤1　即

2

3

≤cosθ≤1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“平面直角坐标系有点P（1，cosx），Q（cosx，1），x∈[-π4，π4]；（1）求..”的主要目的是检查您对于考点“高中用数量积表示两个向量的夹角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中用数量积表示两个向量的夹角”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：