（文）已知动圆过定点P（0，1），且与定直线y=-1相切．（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；（2）设过点Q（0，-1）且以a=(-1，-k)为方向向量的直线l与轨迹M相交于A、B两点．若∠APB为钝角，求直-数学试题及答案

1、试题题目：（文）已知动圆过定点P（0，1），且与定直线y=-1相切．（1）求动圆圆心的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-17 07:30:00

试题原文

（文）已知动圆过定点P（0，1），且与定直线y=-1相切．
（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（2）设过点Q（0，-1）且以

a

=(-1，-k)为方向向量的直线l与轨迹M相交于A、B两点．若∠APB为钝角，求直线l斜率的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：用数量积表示两个向量的夹角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵动圆过定点P（0，1），且与定直线y=-1相切
故圆心到点P（0，1）的距离等于半径，
且圆心到直线y=-1的距离等于半径，
即圆心到定点P（0，1），及定直线y=-1的距离相等
圆心轨迹M是以P（0，1）为焦点，直线y=-1为准线的抛物线，
故它的方程是x²=4y------------------------------------------------5′
（2）直线l过点Q（0，-1），且以

a

=(-1，-k)为方向向量，所以直线方程为y=kx-1，
代入x²=4y得x²-4kx+4=0，
由△=16k²-4×1×4＞0得k＜-1，或k＞1①-------------------------------------7′
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k，x₁x₂=4
所以

PA

=(x1，y1-1)，

PB

=(x2，y2-1)，∵∠PDB为钝角，∴

PA

?

PB

＜0
即x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=x₁x₂+（kx₁-2）（kx₂-2）=（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4＜0------------------------------------------------------------------10′
即4（1+k²）-2k×4k+4＜0，解得k＜-

2

，或k＞

2

②------------------------------12′
由①②得k＜-

2

，或k＞

2

-------------------------------------------------------------------------14′

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（文）已知动圆过定点P（0，1），且与定直线y=-1相切．（1）求动圆圆心的..”的主要目的是检查您对于考点“高中用数量积表示两个向量的夹角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中用数量积表示两个向量的夹角”。

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