已知非零向量a与b满足a+3b与7a-5b互相垂直，a-4b与7a-2b互相垂直．求非零向量a与b的夹角．-数学试题及答案

1、试题题目：已知非零向量a与b满足a+3b与7a-5b互相垂直，a-4b与7a-2b互相垂直..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-17 07:30:00

试题原文

已知非零向量

a

与

b

满足

a

+3

b

与7

a

-5

b

互相垂直，

a

-4

b

与7

a

-2

b

互相垂直．求非零向量

a

与

b

的夹角．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：用数量积表示两个向量的夹角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设非零向量

a

与

b

夹角为θ，则cosθ=

a

?

b

|

a

|?|

b

|

，（3分）
由已知条件得

(

a

+3

b

)?(7

a

-5

b

)=0

(

a

-4

b

)?(7

a

-2

b

)=0

，（5分）
即

7

a

2+16

a

?

b

-15

b

2=0(1)

7

a

2-30

a

?

b

+ 8

b

2=0(2)

，（7分）
（2）-（1）得23

b

2-46

a

?

b

=0，即

b

2=2

a

?

b

，（9分）
代入（1）可得

b

2=

a

2，即|

b

|=|

a

|，
所以cosθ=

a

?

b

|

a

|?|

b

|

=

1

2

b

2

|

b

|2

=

1

2

，而θ∈[0，π]，则有θ=

π

3

．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知非零向量a与b满足a+3b与7a-5b互相垂直，a-4b与7a-2b互相垂直..”的主要目的是检查您对于考点“高中用数量积表示两个向量的夹角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中用数量积表示两个向量的夹角”。

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