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1、试题题目：设向量a=（0，2），b=（1，0），过定点A（0，-2），以a+λb方向向量的直..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-12-22 07:30:00

试题原文

设向量
a
=（0，2），
b
=（1，0），过定点A（0，-2），以
a
+λ
b
方向向量的直线与经过点B（0，2），以向量
b
-2λ
a
为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R，
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设过E（1，0）的直线l与C交于两个不同点M、N，求
EM
?
EN
的取值范围．

  试题来源：不详   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：动点的轨迹方程



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（Ⅰ）设P（x，y），∵
a
=（0，2），
b
=（1，0），∴
a
+λ
b
=（λ，2），
b
-2λ
a
=（1，-4λ），
过定点A（0，-2），以
a
+λ
b
方向向量的直线方程为：2x-λy-2λ=0，
过定点B（0，2），以
b
-2λ
a
方向向量的直线方程为：4λx+y-2=0，
联立消去λ得：8x2+y2=4∴求点P的轨迹C的方程为8x2+y2=4．
（Ⅱ）当过E（1，0）的直线l与x轴垂直时，l与曲线C无交点，不合题意，
∴设直线l的方程为：y=k（x-1），l与曲线C交于M（x1，y1），N（x2，y2），
由
y=k(x-1)
8x2+y2=4
?（k2+8）x2-2k2x+k2-4=0，则
△=4k4-4(k2+8)(k2-4)＞0?0≤k2＜8
x1+x2=
2k2
k2+8
，x1x2=
k2-4
k2+8
，
又
EM
=（x1-1，y1），
EN
=（x2-1，y2），
∴
EM
?
EN
=（x1-1，y1）?（x2-1，y2）=x1x2-（x1+x2）+1+y1y2=x1x2-（x1+x2）+1+k2（x1-1）（x2-1）
=（1+k2）x1x2-（1+k2）（x1+x2）+1+k2 =（1+k2）（
k2-4
k2+8
-
2k2
k2+8
+1）=
4(k2+1)
k2+8
=4-
28
k2+8
，
∵0≤k2＜8，∴
EM
?
EN
的取值范围是[
1
2
，
9
4
）．
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设向量a=（0，2），b=（1，0），过定点A（0，-2），以a+λb方向向量的直..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。


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