已知椭圆C的两个焦点分别为F1和F2，且点A（-5，0），B（5，0）在椭圆C上，又F1(-5，4)．（1）求焦点F2的轨迹C的方程；（2）若直线y=kx+b（k＞0）与曲线C交于M、N两点，以MN为直径的圆经过-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C的两个焦点分别为F1和F2，且点A（-5，0），B（5，0）在椭圆..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-22 07:30:00

试题原文

已知椭圆C的两个焦点分别为F₁和F₂，且点A（-

5

，0），B（

5

，0）在椭圆C上，又F1(-

5

，4)．
（1）求焦点F₂的轨迹C的方程；
（2）若直线y=kx+b（k＞0）与曲线C交于M、N两点，以MN为直径的圆经过原点，求实数b的取值范围．

试题来源：武汉模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|，
∴|AF₂|-|BF₂|=|BF₁|-|AF₁|=6-4=2，
故轨迹F为以A、B为焦点的双曲线的右支．
设其方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0，x＞0)，
∵2a=2，
∴a=1，b²=c²-a²=4．
故轨迹方程为x2-

y2

4

=1(x＞0)．…（6分）
（2）由

x2-

y2

4

=1(x＞0)

y=kx+b

，消去y整理，得
方程（4-k²）x²-2kbx-（b²+4）=0有两个正根x₁，x₂．
∴

△=4k2b2+4(4-k2)( b2+4)＞0

x1x2=

b2+4

k2-4

＞0

x1+x2=

-2kb

k2-4

＞0

，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由条件知x₁x₂+y₁y₂=0．
而y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=k²x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²+b²，
∴（k²+1）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²=0，
即

(k2+1)(b2+4)

k2-4

-

2k2b2

k2-4

+b2=0，
整理得3b²=4（k²+1），即b2=

4

3

(k2+1)，
∴b²-k²+4＞0，
即

4

3

(k2+1)-k2+4＞0显然成立．
∴

k2＞4

kb＜0

而k＞0，∴b＜0．
∴b2=

4

3

(k2+1)＞

4

3

(4+1)=

20

3

．
∴b＜-

20

3

=-

2

15

3

．
故b的取值范围为（-∞，-

2

15

3

）．…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C的两个焦点分别为F1和F2，且点A（-5，0），B（5，0）在椭圆..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

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