已知抛物线C：y2=4x的焦点为F．（1）点A，P满足AP=-2FA．当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线C：y2=4x的焦点为F．（1）点A，P满足AP=-2FA．当点A在抛物线..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-22 07:30:00

试题原文

已知抛物线C：y²=4x 的焦点为F．
（1）点A，P满足

AP

=-2

FA

．当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；
（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

试题来源：上海试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设动点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（x_A，y_A），则

AP

=(x-xA，y-yA)，
因为F的坐标为（1，0），所以

FA

=(xA-1，yA)，
由

AP

=-2

FA

，得（x-x_A，y-y_A）=-2（x_A-1，y_A）．
即

x-xA=-2(xA-1)

y-yA=-2yA

，解得

xA=2-x

yA=-y

代入y²=4x，得到动点P的轨迹方程为y²=8-4x．
（2）设点Q的坐标为（t，0）．点Q关于直线y=2x的对称点为Q^′（x，y），
则

y

x-t

=-

1

2

y

2

=x+t

，解得

x=-

3

5

t

y=

4

5

t

．
若Q^′在C上，将Q^′的坐标代入y²=4x，得4t²+15t=0，即t=0或t=-

15

4

．
所以存在满足题意的点Q，其坐标为（0，0）和（-

15

4

，0）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线C：y2=4x的焦点为F．（1）点A，P满足AP=-2FA．当点A在抛物线..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

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