曲线C是平面内与两个定点F1（-1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a2（a＞1）的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF-数学试题及答案

1、试题题目：曲线C是平面内与两个定点F1（-1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-22 07:30:00

试题原文

曲线C是平面内与两个定点F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距离的积等于常数a²（a＞1）的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F₁PF₂的面积不大于

1

2

a²．
其中，所有正确结论的序号是______．

试题来源：北京试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

对于①，由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及两点间的距离公式的得：

(x+1)2+y2

?

(x-1)2+y2

=a2?[（x+1）²+y²]?[（x-1）²+y²]=a⁴（1）将原点代入验证，此方程不过原点，所以①错；
对于②，把方程中的x被-x代换，y被-y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称．②正确；
对于③，由题意知点P在曲线C上，则△F₁PF₂的面积S△PF1F2=

1

2

×2×y，
由（1）式平方化简的：y⁴+[（x+1）²+（x-1）²]y²+（x²-1）²-a⁴=0?y2=-x2-1+

4x2+a4

或y2=-x2-1-

4x2+a4

（舍）
把三角形的面积式子平方得：S△PF1F22 =y2 对于y2=-x2-1+

4x2+a4

（2）
令

4x2+a4

=t(t≥a2＞1)?x2=

t2-a4

4

代入（2）得y2=-

t2

4

+

a4

4

-1+t=-

1

4

(t-2)2+

a4

4

≤

a4

4

，
故可知S△PF1F2=

1

2

×2×y≤

1

2

a²所以③正确．
故答案为：②③

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“曲线C是平面内与两个定点F1（-1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

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