已知双曲线x2-y2=2（1）求以M（3，1）为中点的弦所在的直线的方程（2）求过M（3，1）的弦的中点的轨迹方程．-数学试题及答案

1、试题题目：已知双曲线x2-y2=2（1）求以M（3，1）为中点的弦所在的直线的方程（2）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-22 07:30:00

试题原文

已知双曲线x²-y²=2
（1）求以M（3，1）为中点的弦所在的直线的方程
（2）求过M（3，1）的弦的中点的轨迹方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设以M（3，1）为中点的双曲线的弦BC，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则x₁²-y₁²=1①，x₂²-y₂²=1②
①-②可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）-（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0
∵M（3，1）为BC的中点
∴6（x₁-x₂）-2（y₁-y₂）=0，BC的斜率为：
∴

y1-y2

x1-x2

=3
∴以A（3，1）为中点的双曲线的弦所在的直线方程为y-1=3（x-3），即y=3x-8
代入双曲线方程可得3x²-6x+8=0，此时△＜0，即所求直线不存在
为：3x-y-8=0
（2）设直线方程为y-1=kx-3k，
把它代入x²-y²=1，
整理得（k²+1）x²+（6k²-2k）x+6k-9k²-2=0．
因为（3，1）在双曲线内部，所以直线和双曲线有两个不同交点，
设直线与双曲线两个交点为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），中点坐标为C（x，y），则
x=

x1+x2

2

=

6k2-2k

2k2+2

=

3k2-k

k2+1

，
y=kx-3k+1．k=

y-1

x-3

消去k得x=

3(

y-1

x-3

)2-

y-1

x-3

(

y-1

x-3

)2+1

，
可得：x²-y²-3x+y=0，这就是所求轨迹方程．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知双曲线x2-y2=2（1）求以M（3，1）为中点的弦所在的直线的方程（2）..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：