已知A、B分别是x轴和y轴上的两个动点，满足|AB|=2，点P在线段AB上且AP=2PB，设点P的轨迹方程为C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若点M、N是曲线C上关于原点对称的两个动点，点Q的坐标-数学试题及答案

1、试题题目：已知A、B分别是x轴和y轴上的两个动点，满足|AB|=2，点P在线段AB上..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

已知A、B分别是x轴和y轴上的两个动点，满足|AB|=2，点P在线段AB上且

AP

=2

PB

，设点P的轨迹方程为C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若点M、N是曲线C上关于原点对称的两个动点，点Q的坐标为(

3

2

，3)，求△QMN的面积S的最大值．

试题来源：崇文区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设点A、B、P的坐标分别为（a，0）、（0，b）、（x，y），
则

x=

a

3

y=

2b

3

即

a=3x

b=

3

2

y.

由|AB|=2得a²+b²=4，
所以曲线C的方程为

9x2

4

+

9y2

16

=1．（5分）
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁），
则|MN|=2

x12+y12

．
当x₁≠0时，设直线MN的方程为y=

y1

x1

x，
则点Q到直线MN的距离h=

|

3

2

y1-3x1|

x12+y12

，
∴△QMN的面积S=

1

2

?2

x12+y12

?

|

3

2

y1-3x1|

x12+y12

=|

3

2

y1-3x1|．（11分）
∴S2=|

3

2

y1-3x1|2=9x12+

9

4

y12-9x1y1．
又∵

9x12

4

+

9y12

16

=1，
∴9x12+

9

4

y12=4．
∴S²=4-9x₁y₁．
而1=

9x12

4

+

9y12

16

≥-2?

3x1

2

?

3y1

4

=-

9x1y1

4

，
则-9x₁y₁≤4．
即S2≤8，S≤2

2

．
当且仅当

3x1

2

=-

3y1

4

时，
即x1=-

1

2

y1时，“=”成立．
当x₁=0时，|MN|=2?

4

3

=

8

3

，
∴△QMN的面积S=

1

2

?

8

3

?

3

2

=2．
∴S有最大值2

2

．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知A、B分别是x轴和y轴上的两个动点，满足|AB|=2，点P在线段AB上..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：