已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为33，直线l：x-y+5=0与椭圆C1相切．（1）求椭圆C1的方程；（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1且垂直与椭圆的长轴，动直-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为33，直线l：x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

，直线l：x-y+

5

=0与椭圆C₁相切．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁且垂直与椭圆的长轴，动直线l₂垂直于直线l₁于点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（3）若A（x₁，2），B（x₂，y₂），C（x₀，y₀）是C₂上不同的点，且AB⊥BC，求实数y₀的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为e=

c

a

=

3

，所以，a=

3

c，b=

2

c，椭圆 C₁的方程可设为

x2

3c2

+

y2

2c2

=1，
与直线方程 x-y+

5

=0 联立，消去y，可得 5x²+6

5

x+15-6c²=0，
因为直线与椭圆相切，所以，△=(6

5

)2-4×5(15-6c2)=0，
又因为c＞0，所以 c=1，所以，椭圆 C₁的方程为

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）由题意可知，PM=MF₂，又PM为点M到直线l₁ 的距离，
所以，点M到直线l₁的距离与到点 F₂的距离相等，
即点M的轨迹C₂ 是以直线 l₁ 为准线，点F₂为焦点的抛物线，
因为直线l₁的方程为X=-1，点P的坐标为（1，0），所以，点M的轨迹C₂ 的方程为 y²=4x．
（3）由题意可知A点坐标为（1，2）．因为AB⊥BC，所以，

AB

?

BC

=0，
即（x₂-1，y₂-1）?（x₀-x₂，y₀-y₂ ）=0，又因为 x2=

1

4

y22，x0=

1

4

y02，
所以，

1

16

（y₂²-4 ）（y₀²-y₂² ）+（y₂-2 ）（y₀-y₂ ）=0，
因为 y₂≠2，y₂≠y₀，所以，

1

16

(y2+2)(y0+y2)+1=0，
整理可得：y₂²+（2+y₀ ）y₂+（2y₀+16）=0，关于 y₂ 的方程有不为2的解，所以
△=（2+y₀）²-4（2y₀+16）≥0，且 y₀≠-6，
所以，y₀²-4y₀-60≥0，且y₀≠-6，解得 y₀ 的取值范围为 y₀＜-6，或 y₀≥10．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为33，直线l：x..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

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