已知A（-32，0），B（32，0）为平面内两定点，动点P满足|PA|+|PB|=2．（1）求动点P的轨迹方程；（2）设直线l：y=k（x+32）（k＞0）与（1）中点P的轨迹交于M，N两点，求△BMN的最大面积及此时的-数学试题及答案

1、试题题目：已知A（-32，0），B（32，0）为平面内两定点，动点P满足|PA|+|PB|=2．..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

已知A（-

3

2

，0），B（

3

2

，0）为平面内两定点，动点P满足|PA|+|PB|=2．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设直线l：y=k（x+

3

2

）（k＞0）与（1）中点P的轨迹交于M，N两点，求△BMN的最大面积及此时的直线l的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵|PA|+|PB|=2，|AB|=

3

＜2
∴动点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，
设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
可得a=1，c=

3

2

，b=

a2-c2

=

1

4

，
因此，椭圆方程为x2+

y2

1

4

=1，可得动点P的轨迹方程为x²+4y²=1；
（2）由

y=k(x+

3

2

)

x2+4y2=1

消去x，得（1+4k²）y²-

3

ky-

1

4

k²=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），可得

y1+y2=

3

k

1+4k2

y1y2=

-

k2

4

1+4k2

，
∴|y₁-y₂|²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=

4k 4+4k2

(1+4k2)2

，
令1+4k²=t，则|y₁-y₂|²=-

3

4t2

+

1

2t

+

1

4

当

1

t

=

1

3

，即t=3时|y₁-y₂|²的最大值为

1

3

，
可得|y₁-y₂|的最大值为

3

，相应的k=±

2

∵△BMN的面积S=

1

2

?|AB|?|y₁-y₂|
∴当且仅当k=±

2

时，△BMN的面积S=

1

2

×

3

×

3

=

1

2

，达到最大值
综上所述，△BMN的最大面积为

1

2

，此时的直线方程为y=±

2

（x+

3

2

），即y=±（

2

x

6

4

）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知A（-32，0），B（32，0）为平面内两定点，动点P满足|PA|+|PB|=2．..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

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