已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A(0，2)为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称．（1）求双曲线C的方程；（2）若Q是双-数学试题及答案

1、试题题目：已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A(0，

2

)为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若Q是双曲线C上的任一点，F₁、F₂为双曲线C的左、右两个焦点，从F₁引∠F₁QF₂的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，即kx-y=0
∵该直线与圆 x2+(y-

2

)2=1相切，
∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x…（3分）
故设双曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

a2

=1，又∵双曲线C的一个焦点为(

2

，0)
∴2a²=2，a²=1，∴双曲线C的方程为x²-y²=1…（6分）
（2）若Q在双曲线的右支上，则延长QF₂到T，使|QT|=|OF₁|
若Q在双曲线的左支上，则在QF₂上取一点T，使|QT|=|QF₁|…（8分）
根据双曲线的定义|TF₂|=2，所以点T在以F₂(

2

，0)为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是(x-

2

)2+y2=4(x≠0)①…（10分）
由于点N是线段F₁T的中点，设N（x，y），T（x_T，y_T）
则

x=

xT-

2

y=

yT

2

，，即

xT=2x+

2

yT=2y

…（12分）
代入①并整理得点N的轨迹方程为 x2+y2=1，(x≠

2

)…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

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