已知：三定点A(-23，0)，B(23，0)，C(-13，0)，动圆M线AB相切于N，且|AN|-|BN|=23，现分别过点A、B作动圆M的切线，两切线交于点P．（1）求动点P的轨迹方程；（2）直线3x-3my-2截动-数学试题及答案

1、试题题目：已知：三定点A(-23，0)，B(23，0)，C(-13，0)，动圆M线AB相切于N，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

已知：三定点A(-

2

3

，0)，B(

2

3

，0)，C(-

1

3

，0)，动圆M线AB相切于N，且|AN|-|BN|=

2

3

，现分别过点A、B作动圆M的切线，两切线交于点P．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）直线3x-3my-2截动点P的轨迹所得弦长为2，求m的值；
（3）是否存在常数λ，使得∠PBC=λ∠PCB，若存在，求λ的值，若不存在，并请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由平几知识得：|PA|-|PB|=|AN|-|BN|=

2

3

＞|AB|=

4

3

∴动点P的轨迹是A、B为焦点的双曲线（部分）
设它的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(x＞a)，则

2a=

2

3

2c=

4

3

c2=a2+b2

解得：

a2=

1

9

b2=

1

3

，故所求的方程为

x2

1

9

-

y2

1

3

=1(x＞

1

3

)
（2）设直线3x-3my-2=0与动点P的轨迹相交于是Q₁（x₁，y₁），Q₂（x₂，y₂），
∵直线3x-3my-2=0恒过双曲线的焦点B
∴由双曲线定义知|Q₁Q₂|=e(x1+x2-

1

3

)=2(x1+x2-

1

3

)=2
∴x₁+x₂=

4

3

若m=0，则x₁=x₂=

2

3

，此时x1+x2=

4

3

，即|Q₁Q₂|=2合题意若m≠0，由

3x-3my-2=0

9x2-3y2=1

，消去y得：9x2-3(

2

3m

-

1

m

x)2=1，
化简得：（27m²-9）x²+12x-3m²-4=0，x₁+x₂=

12

9-27m2

=

4

3

解得m=0与m≠0矛盾．
∴m=0
（3）当x=

2

3

时，|BP|=1，|BC|=1，此时∠PCB=45°，∠PBC=90°
猜想λ=2
当x≠

2

3

时，设P（x，y）则{y^2}=-3(

1

9

-x2)，且tan∠PCB=

y

x+

1

3

∴tan2∠PCB=

2?(

y

x+

1

3

)

1-

y2

(x+

1

3

)2

=

2y(x+

1

3

)

(x+

1

3

)2-y2

=

2y(x+

1

3

)

(x+

1

3

)2+3(

1

9

-x2)

=

2y

4

3

-2x

=

y

2

3

-x

而tan∠PBC=-tan∠PBx=

y

x-

2

3

=

y

2

3

-x

∴tan2∠PCB=tan∠PBC
又∵0＜∠PBC＜π，0＜2＜PBC＜π
∴2∠PCB=∠PBC即存在λ=2，使得：∠PBC=λ∠PCB

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知：三定点A(-23，0)，B(23，0)，C(-13，0)，动圆M线AB相切于N，..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：