已知两点A（-2，0）、B（2，0），动点P满足kPA?kPB=-14．（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）H是曲线E与y轴正半轴的交点，曲线E上是否存在两点M、N，使得△HMN是以H为直角顶点的等腰直角-数学试题及答案

1、试题题目：已知两点A（-2，0）、B（2，0），动点P满足kPA?kPB=-14．（1）求动点P的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

已知两点A（-2，0）、B（2，0），动点P满足kPA ? kPB=-

1

4

．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）H是曲线E与y轴正半轴的交点，曲线E上是否存在两点M、N，使得△HMN是以H为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．

试题来源：漳州模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设点P的坐标为（x，y）（y≠0），则kPA=

y-0

x+2

，kPB=

y-0

x-2

，
∵kPA ? kPB=-

1

4

，∴

y

x+2

?

y

x-2

=-

1

4

，化简得

x2

4

+y2=1，
∴动点P的轨迹E的方程为

x2

4

+y2=1（y≠0）．注：如果未说明y≠0，扣（1分）．
（2）设能构成等腰直角三角形HMN，其中H为（0，1），
由题意可知，直角边HM，HN不可能垂直或平行于x轴，故可设HM所在直线的方程为y=kx+1，（不妨设k＞0）
则HN所在直线的方程为y=-

1

k

x+1，由

y=kx+1

x2+4y2=4

求得交点M(-

8k

1+4k2

，

-8k2

1+4k2

+1)，（另一交点H（0，1））
∴|HM|=

(-

8k

1+4k2

)2+(-

8k2

1+4k2

)2

=

8k

1+k2

1+4k2

，
用-

1

k

代替上式中的k，得|HN|=

8

1+k2

4+k 2

，
由|HM|=|HN|，得k（4+k²）=1+4k²，
∴k³-4k²+4k-1=0?（k-1）（k²-3k+1）=0，
解得：k=1或k=

3±

5

2

，
当HM斜率k=1时，HN斜率-1；当HM斜率k=

3+

5

2

时，HN斜率

-3+

5

2

；当HM斜率k=

3-

5

2

时，HN斜率

-3-

5

2

，
综上述，符合条件的三角形有3个．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知两点A（-2，0）、B（2，0），动点P满足kPA?kPB=-14．（1）求动点P的..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：