设A（-2，0），B（2，0），M为平面上任一点，若|MA|+|MB|为定值，且cosAMB的最小值为-13．（1）求M点轨迹C的方程；（2）过点N（3，0）的直线l与轨迹C及单位圆x2+y2=1自右向左依次交于点-数学试题及答案

1、试题题目：设A（-2，0），B（2，0），M为平面上任一点，若|MA|+|MB|为定值，且c..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

设A（-2，0），B（2，0），M为平面上任一点，若|MA|+|MB|为定值，且cosAMB的最小值为-

1

3

．
（1）求M点轨迹C的方程；
（2）过点N（3，0）的直线l与轨迹C及单位圆x²+y²=1自右向左依次交于点P、Q、R、S，若|PQ|=|RS|，则这样的直线l共有几条？请证明你的结论．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设M（x，y），
∵在△AMB中，AB=4，|MA|+|MB|是定值；
可设|MA|+|MB|=2a（a＞0）．
∴cosAMB═

(|MA|+|MB|)2-2|MA||MB|-16

2|MA||MB|

=

4a2-16

2|MA||MB|

-1．（3分）
而|MA|+|MB|≥2

|MA|?|MB|

，
∴|MA|?|MB|≤a²．
∴

4a2-16

2|MA||MB|

-1≥

4a2-16

2a2

-1
．∵cosAMB最小值为-

1

3

，
∴-1=-

1

3

．∴a=

6

．（6分）
∴|MA|+|MB|=2

6

＞|AB|．
∴M点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且a=

6

，c=2．
∴b²=a²-c²=2．∴曲线C的方程是

x2

6

+

y2

2

=1．（8分）
（2）设直线l的方程是y=k（x-3）．
1°当k=0时，显然有|PQ|=|RS|；此时l的方程是y=0．
2°当k≠0时，∵|PQ|=|RS|，∴PS与RQ的中点重合，设中点为G，则OG⊥PS．
由

x2

6

+

y2

2

=1

y=k(x-3)

，
得（1+3k²）x²-18k²x+27k²-6=0．（11分）
设P（x₁，y₁），S（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

18k2

1+3k2

，y₁+y₂=k（x₁-3）+k（x₂-3）=

-6k

1+3k2

．
∴G（

9k2

1+3k2

，

-3k

1+3k2

）．
∴

-3k

1+3k2

9k2

1+3k2

×k=-1无解，此时l不存在，
综上，存在一条直线l：y=0满足条件．（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设A（-2，0），B（2，0），M为平面上任一点，若|MA|+|MB|为定值，且c..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

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