已知曲线C1：|x|a+|y|b=1(a＞b＞0)所围成的封闭图形的面积为45，曲线C1的内切圆半径为253．记C2为以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆．（Ⅰ）求椭圆C2的标准方程；（Ⅱ）设AB是过椭圆C-数学试题及答案

1、试题题目：已知曲线C1：|x|a+|y|b=1(a＞b＞0)所围成的封闭图形的面积为4..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-22 07:30:00

试题原文

已知曲线C1：

|x|

a

+

|y|

b

=1(a＞b＞0)所围成的封闭图形的面积为4

5

，曲线C₁的内切圆半径为

2

5

3

．记C₂为以曲线C₁与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
（Ⅰ）求椭圆C₂的标准方程；
（Ⅱ）设AB是过椭圆C₂中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．M是l上异于椭圆中心的点．
（1）若|MO|=λ|OA|（O为坐标原点），当点A在椭圆C₂上运动时，求点M的轨迹方程；
（2）若M是l与椭圆C₂的交点，求△AMB的面积的最小值．

试题来源：山东试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题意得

2ab=4

5

ab

a2+b2

=

2

5

3

，又a＞b＞0，解得 a²=5，b²=4．
因此所求椭圆的标准方程为

x2

5

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）（1）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y=kx（k≠0），A（x_A，y_A）．
解方程组

x2

5

+

y2

4

=1

y=kx

得

x

2A

=

20

4+5k2

，

y

2A

=

20k2

4+5k2

，
所以|OA|2=

x

2A

+

y

2A

=

20

4+5k2

+

20k2

4+5k2

=

20(1+k2)

4+5k2

．
设M（x，y），由题意知|MO|=λ|OA|（λ≠0），
所以|MO|²=λ²|OA|²，即x2+y2=λ2

20(1+k2)

4+5k2

，
因为l是AB的垂直平分线，所以直线l的方程为y=-

1

k

x，即k=-

x

y

，
因此x2+y2=λ2

20(1+

x2

y2

)

4+5?

x2

y2

=λ2

20(x2+y2)

4y2+5x2

，
又x²+y²≠0，所以5x²+4y²=20λ²，故

x2

4

+

y2

5

=λ2．
又当k=0或不存在时，上式仍然成立．
综上所述，M的轨迹方程为

x2

4

+

y2

5

=λ2(λ≠0)．
（2）当k存在且k≠0时，由（1）得

x

2A

=

20

4+5k2

，

y

2A

=

20k2

4+5k2

，
由

x2

5

+

y2

4

=1

y=-

1

k

x

解得

x

2M

=

20k2

5+4k2

，

y

2M

=

20

5+4k2

，
所以|OA|2=

x

2A

+

y

2A

=

20(1+k2)

4+5k2

，|AB|2=4|OA|2=

80(1+k2)

4+5k2

，|OM|2=

20(1+k2)

5+4k2

．
由于

S

2△AMB

=

1

4

|AB|2?|OM|2=

1

4

×

80(1+k2)

4+5k2

×

20(1+k2)

5+4k2

=

400(1+k2)2

(4+5k2)(5+4k2)

≥

400(1+k2)2

(

4+5k2+5+4k2

2

)2

=

1600(1+k2)2

81(1+k2)2

=(

40

9

)2，
当且仅当4+5k²=5+4k²时等号成立，即k=±1时等号成立，
此时△AMB面积的最小值是S△AMB=

40

9

．
当k=0，S△AMB=

1

2

×2

5

×2=2

5

＞

40

9

．
当k不存在时，S△AMB=

1

2

×

5

×4=2

5

＞

40

9

．
综上所述，△AMB的面积的最小值为

40

9

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知曲线C1：|x|a+|y|b=1(a＞b＞0)所围成的封闭图形的面积为4..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

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