已知点P为圆x2+y2=4上的动点，且P不在x轴上，PD⊥x轴，垂足为D，线段PD中点Q的轨迹为曲线C，过定点M（t，0）（0＜t＜2）任作一条与y轴不垂直的直线l，它与曲线C交于A、B两点．（1）求曲-数学试题及答案

1、试题题目：已知点P为圆x2+y2=4上的动点，且P不在x轴上，PD⊥x轴，垂足为D，线..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-22 07:30:00

试题原文

已知点P为圆x²+y²=4上的动点，且P不在x轴上，PD⊥x轴，垂足为D，线段PD中点Q的轨迹为曲线C，过定点M（t，0）（0＜t＜2）任作一条与y轴不垂直的直线l，它与曲线C交于A、B两点．
（1）求曲线C的方程；
（2）试证明：在x轴上存在定点N，使得∠ANB总能被x轴平分．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设Q（x，y）为曲线C上的任意一点，则点P（x，2y）在圆x²+y²=4上，
∴x²+4y²=4，曲线C的方程为

x2

4

+y2=1(y≠0)．（2分）
（2）设点N的坐标为（n，0），直线l的方程为x=sy+t，（3分）
代入曲线C的方程

x2

4

+y2=1，可得（s²+4）y²+2tsy+t²-4=0，（5分）
∵0＜t＜2，∴△=（2ts）²-4（s²+4）（t²-4）=16（s²+4-t²）＞0，
∴直线l与曲线C总有两个公共点．（也可根据点M在椭圆C的内部得到此结论）（6分）
设点A，B的坐标分别（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则y1+y2=

-2ts

s2+4

，y1y2=

t2-4

s2+4

，
要使∠ANB被x轴平分，只要k_AN+k_BN=0，（9分）
即

y1

x1-n

+

y2

x2-n

=0，y₁（x₂-n）+y₂（x₁-n）=0，（10分）
也就是y₁（sy₂+t-n）+y₂（sy₁+t-n）=0，2sy₁y₂+（t-n）（y₁+y₂）=0，
即2s?

t2-4

s2+4

+(t-n)?

(-2ts)

s2+4

=0，即只要（nt-4）s=0（12分）
当n=

4

t

时，（*）对任意的s都成立，从而∠ANB总能被x轴平分．（13分）
所以在x轴上存在定点N(

4

t

，0)，使得∠ANB总能被x轴平分．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知点P为圆x2+y2=4上的动点，且P不在x轴上，PD⊥x轴，垂足为D，线..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

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