已知k＞0，直线l1：y=kx，l2：y=-kx．（1）证明：到l1、l2的距离的平方和为定值a（a＞0）的点的轨迹是圆或椭圆；（2）求到l1、l2的距离之和为定值c（c＞0）的点的轨迹．-数学试题及答案

1、试题题目：已知k＞0，直线l1：y=kx，l2：y=-kx．（1）证明：到l1、l2的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-22 07:30:00

试题原文

已知k＞0，直线l₁：y=kx，l₂：y=-kx．
（1）证明：到l₁、l₂的距离的平方和为定值a（a＞0）的点的轨迹是圆或椭圆；
（2）求到l₁、l₂的距离之和为定值c（c＞0）的点的轨迹．

试题来源：安徽试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：设点P（x，y）为动点，则

|y-kx|2

1+k2

+

|y+kx|2

1+k2

=a，
整理得

x2

(1+k2)a

2k2

+

y2

(1+k2)a

2

=1．
因此，当k=1时，动点的轨迹为圆；
当k≠1时，动点的轨迹为椭圆．
（2）设点P（x，y）为动点，则
|y-kx|+|y+kx|=c

1+k2

．
当y≥k|x|时，y-kx+y+kx=c

1+k2

，即y=

1

2

c

1+k2

；
当y≤-k|x|时，kx-y-y-kx=c

1+k2

，即y=-

1

2

c

1+k2

；
当-k|x|＜y＜k|x|，x＞0时，kx-y+y+kx=c

1+k2

，即x=

1

2k

c

1+k2

；
当-k|x|＜y＜k|x|，x＜0时，y-kx-y-kx=c

1+k2

，即x=-

1

2k

c

1+k2

．
综上，动点的轨迹为矩形．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知k＞0，直线l1：y=kx，l2：y=-kx．（1）证明：到l1、l2的..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

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