在平面直角坐标系xOy中，点_P到定点F（-1，0）的距离的两倍和它到定直线x=-4的距离相等．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程，并说明轨迹C是什么图形；（Ⅱ）已知点Q（l，1），直线l：y=x+m（m∈R）和-数学试题及答案

1、试题题目：在平面直角坐标系xOy中，点_P到定点F（-1，0）的距离的两倍和它到定..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-22 07:30:00

试题原文

在平面直角坐标系xOy中，点_P到定点F（-1，0）的距离的两倍和它到定直线x=-4的距离相等．
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程，并说明轨迹C是什么图形；
（Ⅱ）已知点Q（l，1），直线l：y=x+m（m∈R）和轨迹C相交于A、B两点，是否存在实数m，使△ABQ的面积S最大？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设P（x，y），根据题意，2|PF|=d．
即：2

(x+1)2+y2

=|4+x|，
平方化简得3x²+4y²=12，即

x2

4

+

y2

3

=1．
点P的轨迹是长轴、短轴长分别为4、2

3

，焦点在x轴上的椭圆．
（Ⅱ）设直线L与轨迹C的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点．
联立方程得：

y=x+m

x2

4

+

y2

3

=1

?7x²+8mx+4m²-12=0，
x₁+x₂=-

8m

7

，x₁x₂=

4m2-12

7

，
△=64m²-4×7×4（m²-3）=48（7-m²）＞0
|AB|=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

4

6

7

×

7-m2

．
点Q（1，1）到L：y=x+m的距离为

|m|

2

．
∴S_△=

1

2

×

4

6

7

×

7-m2

×

|m|

2

=

2

3

7

×

(7-m2)m2

≤

2

3

7

×

7-m2+m2

2

=

3

．
当且仅当7-m²=m²，即m=±

14

2

时，满足△=48（7-m²）＞0，
∴存在实数m=±

14

2

，使△ABQ的面积S最大，最大值为

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在平面直角坐标系xOy中，点_P到定点F（-1，0）的距离的两倍和它到定..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

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