已知函数f（x）=log2（2x+1）．（1）求证：函数f（x）定义域内单调递增；（2）记g（x）=log2(2x-1)．若关于x的方程g（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=log2（2x+1）．（1）求证：函数f（x）定义域内单调递增；（2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=log₂（2^x+1）．
（1）求证：函数f（x）定义域内单调递增；
（2）记g（x）=log 2(2x-1)．若关于x的方程g（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：任取x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=log₂（2^x₁+1）-log₂（2^x₂+1）=log₂

2x1+1

2x2+1

∵x₁＜x₂，∴0＜

2x1+1

2x2+1

＜1，∴log₂

2x1+1

2x2+1

＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在R上单调递增；
（2）∵g（x）=log 2(2x-1)，x＞0，
∴m=g（x）-f（x）=log 2(2x-1)-log₂（2^x+1）=log₂（1-

2

2x+1

）．
当1≤x≤2时，

2

5

≤

2

2x+1

≤

2

3

，
∴

1

3

≤1-

2

2x+1

≤

3

5

∴m的取值范围是[log2

1

3

，log2

3

5

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=log2（2x+1）．（1）求证：函数f（x）定义域内单调递增；（2..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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