已知幂函数f（x）=x（2-k）（1+k），k∈Z，且f（x）在（0，+∞）上单调递增．（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；（2）若F（x）=2f（x）-4x+3在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取-数学试题及答案

1、试题题目：已知幂函数f（x）=x（2-k）（1+k），k∈Z，且f（x）在（0，+∞）上单调递增．（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-12 07:30:00

试题原文

已知幂函数f（x）=x^{（2-k）（1+k）}，k∈Z，且f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；
（2）若F（x）=2f（x）-4x+3在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；
（3）试判断是否存在正数q，使函数g（x）=1-qf（x）+（2q-1）x在区间[-1，2]上的值域为[-4，

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]．若存在，求出q的值；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意知（2-k）（1+k）＞0，
解得：-1＜k＜2．…（2分）
又k∈Z
∴k=0或k=1，…（3分）
分别代入原函数，得f（x）=x²．…（4分）
（2）由已知得F（x）=2x²-4x+3．…（5分）
要使函数不单调，则2a＜1＜a+1，则0＜a＜

1

2

．…（8分）
（3）由已知，g（x）=-qx²+（2q-1）x+1．…（9分）
假设存在这样的正数q符合题意，
则函数g（x）的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为x=

2q-1

2q

=1-

1

2q

＜1，
因而，函数g（x）在[-1，2]上的最小值只能在x=-1或x=2处取得，
又g（2）=-1≠-4，
从而必有g（-1）=2-3q=-4，解得q=2．
此时，g（x）=-2x²+3x+1，其对称轴x=

3

4

∈[-1，2]，
∴g（x）在[-1，2]上的最大值为g(

3

4

)=-2×(

3

4

)2+3×

3

4

+1=

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，符合题意．
∴存在q=2，使函数g（x）=1-qf（x）+（2q-1）x在区间[-1，2]上的值域为[-4，

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]．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知幂函数f（x）=x（2-k）（1+k），k∈Z，且f（x）在（0，+∞）上单调递增．（..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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