设定义在区间[x1，x2]上的函数y=f（x）的图象为C，点A、B的坐标分别为（x1，f（x1）），（x2f（x2））且M（x，f（x））为图象C上的任意一点，O为坐标原点，当实数λ满足x=λx1+（1-λ）x2时，记-数学试题及答案

1、试题题目：设定义在区间[x1，x2]上的函数y=f（x）的图象为C，点A、B的坐标分别..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-12 07:30:00

试题原文

设定义在区间[x₁，x₂]上的函数y=f（x）的图象为C，点A、B的坐标分别为（x₁，f（x₁）），（x₂f（x₂））且M（x，f（x））为图象C上的任意一点，O为坐标原点，当实数λ满足x=λx₁+（1-λ）x₂时，记向量

ON

=λ

OA

+(1-λ)

OB

．若|

MN

|≤k恒成立，则称函数y=f（x）在区间[x₁，x₂]上可在标准k下线性近似，其中k是一个确定的正数．
（Ⅰ）求证：A、B、N三点共线
（Ⅱ）设函数f（x）=x²在区间[0，1]上可的标准k下线性近似，求k的取值范围；
（Ⅲ）求证：函数g（x）=lnx在区间（e^m，e^m+1）（m∈R）上可在标准k=

1

8

下线性近似．
（参考数据：e=2.718，ln（e-1）=0.541）

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由

ON

=λ

OA

+(1-λ)

OB

得

BN

=λ

BA

，∴A、B、N三点共线．
（Ⅱ）由x=λx₁+（1-λ）x₂，

ON

=λ

OA

+(1-λ)

OB

，得 N 和M的横坐标相同．
对于区间[0，1]上的函数f（x）=x²，A（0，0）、B（1，1），则有 |

MN

|=x-x²=-(x-

1

2

)2-

1

4

，
∴|

MN

|∈[0，

1

4

]．
再由|

MN

|≤k恒成立，可得 k≥

1

4

．故k的取值范围为[

1

4

，+∞）．
（Ⅲ）对定义在区间（e^m，e^m+1）（m∈R）上的函数函数g（x）=lnx，A （e^m，m）、B（e^m+1，m+1）．
AB的方程为y-m=

1

em+1-em

（x-e^m ），其中x∈[e^m，e^m+1]．
令h（x）=lnx-m-

1

em+1-em

（x-e^m ），则h′（x）=

1

x

-

1

em+1-em

．
由于导数h′（x）在x=e^m+1-e^m 处的符号左正右负，故函数h（x）在x=e^m+1-e^m 处取得极大值，
再由x∈[e^m，e^m+1]时，极大值仅此一个，故此极大值是函数h（x）的最大值．
故函数h（x）的最大值为h（e^m+1-e^m）=ln（e-1）-

e-2

e-1

≈0.123＜

1

8

，
即|

MN

|=h（x）当x∈[e^m，e^m+1]时，有|

MN

|≤

1

8

成立，故要证的结论成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设定义在区间[x1，x2]上的函数y=f（x）的图象为C，点A、B的坐标分别..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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