已知数列{an}满足a1=1，an=12an-1+1(n≥2)．（1）求a2，a3，a4的值；（2）求证：数列{an-2}是等比数列；（3）求an，并求{an}前n项和Sn．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足a1=1，an=12an-1+1(n≥2)．（1）求a2，a3，a4的值；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足a1=1，an=

1

2

an-1+1(n≥2)．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求证：数列{a_n-2}是等比数列；
（3）求a_n，并求{a_n}前n项和S_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵数列{a_n}满足a1=1，an=

1

2

an-1+1(n≥2)，
∴a2=

1

2

a1+1=

3

2

，a3=

1

2

a2+1=

7

4

，a4=

1

2

a3+1=

15

8

．…（3分）
（2）∵

an-2

an-1-2

=

1

2

an-1-1

an-1-2

=

1

2

(an-1-2)

an-1-2

=

1

2

，
又a₁-2=-1，
∴数列{a_n-2}是以-1为首项，

1

2

为公比的等比数列．…（7分）
（注：文字叙述不全扣1分）
（3）由（2）得an-2=-1×(

1

2

)n-1，则an=2-(

1

2

)n-1，…（9分）
∴Sn=2n-[1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1]=2n-

1×[1-(

1

2

)n]

1-

1

2

=2n-2+(

1

2

)n-1．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足a1=1，an=12an-1+1(n≥2)．（1）求a2，a3，a4的值；..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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