已知数列{an}的前n项和为Sn．且满足Sn=2an-1（n∈N+）（I）求证：数列{an}是等比数列；（II）数列{bn}满足bn+1．=an+bnn∈N+．且b1=3．若不等式log2(bn-2)＜316n2+t对任意n∈N+恒成立，求实-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和为Sn．且满足Sn=2an-1（n∈N+）（I）求证：数列{a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n．且满足S_n=2a_n-1（n∈N⁺）
（I）求证：数列{a_n}是等比数列；
（II）数列{b_n}满足b_n+1．=a_n+b_nn∈N⁺．且b₁=3．若不等式log2(bn-2)＜

3

16

n2+t对任意n∈N⁺恒成立，求实数t的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（ I）证明：依题意可得S_n+1=2a_n+1-1…①，S_n=2a_n-1…②
①-②，得a_n+1=2a_n+1-2a_n
化简得

an+1

an

=2(n∈N*)，
∵a₁=2a₁-1，
∴a₁=1
∴数列{a_n}是以1为首项，公比为2的等比数列．
（II）由（Ⅰ）可知a_n=2^n-1，因为b_n+1=a_n+b_n，n∈N⁺．且b₁=3，
所以b_n=a_n-1+b_n-1=a_n-1+a_n-2+b_n-2=…=a_n-1+a_n-2+…+a₁+b₁=2^n-2+2^n-3+…+1+3=2^n-1+2，
因为不等式log2(bn-2)＜

3

16

n2+t对任意n∈N⁺恒成立，
所以log2(2n-1+2-2)＜

3

16

n2+t，
即t＞-

3

16

n2+n-1，对任意n∈N⁺恒成立，
因为-

3

16

n2+n-1≤

5

16

，且n=3时-

3

16

n2+n-1取得最大值

5

16

．
所以t＞

5

16

．
所以实数t的取值范围：(

5

16

，+∞)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和为Sn．且满足Sn=2an-1（n∈N+）（I）求证：数列{a..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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