已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，an+1=23ax+n-4n，bn=（-1）n（an-3n+21），其中λ为实数，n为正整数．（Ⅰ）证明：当λ≠-18时，数列{bn}是等比数列；（Ⅱ）设Sn为数列{bn}的前n项和，是否存-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，an+1=23ax+n-4n，bn=（-1）n（an-3n+..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，an+1=

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ax+n-4_n，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21），其中λ为实数，n为正整数．
（Ⅰ）证明：当λ≠-18时，数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）设S_n为数列{b_n}的前n项和，是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有S_n＞-12？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

试题来源：湖北试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：假设存在一个实数?，使{a_n}是等比数列，则有a₂²=a₁a₂，即
（

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λ-3）²=λ(

4

9

λ-4)?

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λ²-4λ+9=

4

9

λ2-4λ?9=0，矛盾．
所以{a_n}不是等比数列．
（Ⅱ）证明：∵bn+1=(-1)n+1[aa+1-3{n+1}+21]=(-1)n+1(

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an-2n+14)
=-

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(-1)，(an-3n+21)=-

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bn.
λ≠-18，∴b₁=-（λ+18）≠0．
由上式知bn≠0，∴

bn+1

bn

=-

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(n∈Nn)，
故当λ≠-18，时，数列{b_n}是以-（λ+18）为首项，-

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为公比的等比数列．
（Ⅲ）当λ≠-18时，由（Ⅱ）得bn=-(λ+18)?(-

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)n-1，
于是Sn=-

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(λ+18)?[1-(-

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)n]，
当λ=-18时，b_n=0，从而S_n=0．上式仍成立．
要使对任意正整数n，都有S_n＞-12．
即-

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(λ+18)?[1-(-

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)n]＞12?λ

20

1-(-

2

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)n

-18.
令f(n)=1-(-

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)n，则
当n为正奇数时，1＜f(n)≤

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：当n为正偶数时，

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≤f(n)＜1，∴f(n)的最大值为f(1)=

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.
于是可得λ＜20×

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-18=-6.
综上所述，存在实数λ，使得对任意正整数n，都有S_n＞-12；λ的取值范围为（-∞，-6）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，an+1=23ax+n-4n，bn=（-1）n（an-3n+..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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