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1、试题题目：已知数列{an}的前n项和Sn=1-kan（k＞0，n∈N*）．（1）用n、..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

已知数列{an}的前n项和Sn=1-kan（k＞0，n∈N*）．
（1）用n、k表示an；
（2）数列{bn}对n∈N*均有（bn+1-bn+2）lga1+（bn+2-bn）lga3+（bn-bn+1）lga5=0，求证：数列{bn}为等差数列；
（3）在（1）、（2）中，设k=1，bn=n+1，xn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn，求证：xn＜3．

  试题来源：不详   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：等差数列的定义及性质



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（1）∵Sn=1-kan，
∴S1=a1=1-ka1，
∴a1=
1
k+1

∴an+1=Sn+1-Sn=（1-kan+1）-（1-kan），
∴an+1=kan-kan+1，即 （k+1）an+1=kan，
∵kk≠1解得an+1=
k
k+1
an（1）
∵k＞0，a1≠0，由（1）式易知an≠0，n≥1，
∴
an+1
an
=
k
k+1

故该数列是公比为
k
k+1
，首项为
1
k+1
的等比数列，
∴an=
1
k+1
×（
k
k+1
）n-1．
证明：（2）∵（bn+1-bn+2）lga1+（bn+2-bn）lga3+（bn-bn+1）lga5=0，
∴（bn+1-bn+2）lg
1
k+1
+（bn+2-bn）lg[（
1
k+1
×（
k
k+1
）2]+（bn-bn+1）lg[（
1
k+1
×（
k
k+1
）4]=0…①
令lg
1
k+1
=m，lg
k
k+1
=n，则m，n均不为0
则①式可化为m（bn+1-bn+2）+（m+2n）（bn+2-bn）+（m+4n）（bn-bn+1）=0
即bn+2+bn=2bn+1，
即数列{bn}为等差数列；
（3）若k=1，an=
1
k+1
×（
k
k+1
）n-1=（
1
2
）n，
又∵bn=n+1，
∴xn=
1
2
×2+(
1
2
)2×3+(
1
2
)3×4+…+(
1
2
)n（n+1）…①，
∴
1
2
xn=(
1
2
)2×2+(
1
2
)3×3+…+(
1
2
)nn+(
1
2
)n+1（n+1）…②
①-②得
1
2
xn=1+[(
1
2
)2+(
1
2
)3+…+(
1
2
)n]-(
1
2
)n+1（n+1）=
3
2
-
n+3
2
(
1
2
)n
∴xn=3-（n+3）(
1
2
)n
∵（n+3）(
1
2
)n＞0
∴xn＜3
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和Sn=1-kan（k＞0，n∈N*）．（1）用n、..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。


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