已知各项均为正数的数列{an}满足an+12-an+1an-2an2=0，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）若bn=anlog12an，Sn=b1+b2+…+bn，求使Sn+n?2n+1＞50成立的正-数学试题及答案

1、试题题目：已知各项均为正数的数列{an}满足an+12-an+1an-2an2=0，且a3+2是a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

已知各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+1²-a_n+1a_n-2a_n²=0，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若b_n=a_nlog

1

2

an，Sn=b1+b2+…+bn，求使S_n+n?2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值．

试题来源：丰台区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵a_n+1²-a_n+1a_n-2a_n²=0，∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-2a_n）=0，
∵数列{a_n}的各项均为正数，
∴a_n+1+a_n＞0，
∴a_n+1-2a_n=0，
即a_n+1=2a_n，所以数列{a_n}是以2为公比的等比数列．
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中项，
∴a₂+a₄=2a₃+4，
∴2a₁+8a₁=8a₁+4，
∴a₁=2，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）及b_n=anlog

1

2

an得，b_n=-n?2ⁿ，
∵S_n=b₁+b₂++b_n，
∴S_n=-2-2?2²-3?2³-4?2⁴--n?2ⁿ①
∴2S_n=-2²-2?2³-3?2⁴-4?2⁵--（n-1）?2ⁿ-n?2ⁿ⁺¹②
①-②得，S_n=2+2²+2³+2⁴+2⁵++2ⁿ-n?2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n?2n+1=(1-n)?2n+1-2，
要使S_n+n?2ⁿ⁺¹＞50成立，只需2ⁿ⁺¹-2＞50成立，即2ⁿ⁺¹＞52，
∴使S_n+n?2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值为5．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知各项均为正数的数列{an}满足an+12-an+1an-2an2=0，且a3+2是a..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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