已知i=(1，0)，jn=(cos2nπ2，sinnπ2)，Pn=(an，sinnπ2)(n∈N+)，数列{an}满足：a1=1，a2=1，an+2=(i+jn)?Pn．（I）求证：数列{a2k-1}是等差数；数列{a2k}是等比数列；（其中k∈N*）；-数学试题及答案

1、试题题目：已知i=(1，0)，jn=(cos2nπ2，sinnπ2)，Pn=(an，sinnπ2)(n∈N+)，数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

已知

i

=(1，0)，

jn

=(cos2

nπ

2

，sin

nπ

2

)，

Pn

=(an，sin

nπ

2

)(n∈N+)，数列{an}满足：a1=1，a2=1，an+2=(i+

jn

)?

Pn

．
（I）求证：数列{a_2k-1}是等差数；数列{a_2k}是等比数列；（其中k∈N^*）；
（II）记a_n=f（n），对任意的正整数n≥2，不等式（cosnπ）[f（n²）-λf（2n）]≤0，求λ的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）an+2=(

i

+

jn

)?

Pn

=[(1，0)+(cos2

nπ

2

，sin

nπ

2

)]?(an，sin

nπ

2

)=(1+cos2

nπ

2

，sin

nπ

2

)?(an，sin

nπ

2

)
=(1+cos2

nπ

2

)an+sin

nπ

2

，…（2分）
当n=2k-1（k∈N^*）时，
a2k+1=[1+cos2

(2k-1)π

2

]a2k-1+sin2

2k-1

2

π
=a_2k-1+1，即a_2k+1-a_2k-1=1．
所以数列{a_2k-1}是首项为1、公差为1的等差数列，…（4分）当n=2k(k∈N*)时，a2k+2=(1+cos2

2kπ

2

)a2k+sin2

2kπ

2

=2a2k．
所以数列{a_2k}是首项为2、公比为2的等比数列，…（6分）
（II）由（I）可知：a_2k-1=k，a_2k=2^k．
故数列{a_n}的通项公式为a_n=

n+1

2

，n=2k-1(k∈N*)

2

n

2

，n=2k(k∈N*).

…（7分）
当n为奇数时，（cosnπ）[f（n²）-λf（2n）]≥0?λ≥

f(n2)

f(2n)

=

n2+1

2n+1

令g（n）=

n2+1

2n-1

?g(n+1)-g(n)=

2n-n2

2n

＜0?g（n+1）＜g（n）
所以g（n）为单调递减函数，∴g（n）_max=g（3）=

5

8

?λ≥

5

8

…（10分）
当n为偶数时，（cosnπ）[f（n²）-λf（2n）]≥0?λ≤

f(n2)

f(2n)

=2

(n-1)2-1

2

令h(n)=2

(n-1)2-1

2

，显然h（n）为单调递增函数，
h（n）_min=h（2）=1?λ≤1
综上，λ的取值范围是[

5

8

，1]…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知i=(1，0)，jn=(cos2nπ2，sinnπ2)，Pn=(an，sinnπ2)(n∈N+)，数..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：