发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-03-05 07:30:00
| 试题原文 |
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| （Ⅰ）证明：∵a13+a23+a33+…+an3=Sn2， 当n=1时，a13=a12． ∵a1＞0，∴a1=1． 当n≥2时，a13+a23+a33+…+an3=Sn2．①a13+a23+a33+…+an-13=Sn-12．② ①-②得 an3=an（2a1+2a2+…+2an-1+an） ∵an＞0，∴an2=2a1+2a2+…+2an-1+an， 即an2=2Sn-an． ∵a1=1适合上式， ∴an2=2Sn-an（n∈N*）．（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知 an2=2Sn-an（n∈N*）．③ 当n≥2时，an-12=2Sn-1-an-1．④ ③-④得an2-an-12=2（Sn-Sn-1）-an+an-1=2an-an+an-1=an+an-1． ∵an+an-1＞0，∴an-an-1=1． ∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，可得an=n．（8分） （Ⅲ）∵an=n，∴bn=3n+(-1)n-1λ?2an=3n+(-1)n-1λ?2n． 欲使bn+1-bn=[3n+1+（-1）nλ?2n+1]-[3n+（-1）n-1λ?2n]
即(-1)n-1?λ＜(
当n=2k-1，k=1，2，3，…时，⑤式即为λ＜(
依题意，⑥式对k=1，2，3…都成立，∴λ＜1． 当n=2k，k=1，2，3，…时，⑤式即为λ＞-(
依题意，⑦式对k=1，2，3，…都成立，∴λ＞-
∴-
∴存在整数λ=-1，使得对任意n∈N*，都有bn+1＞bn．（12分） |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}的各项都是正数，记Sn为数列{an}的前n项和，且对任意n..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。