设各项均不为0的数列{an}的前n项之乘积是bn，且λan+bn=1（λ∈R，λ＞0）（1）探求an、bn、bn-1之间的关系式；（2）设λ=1，求证{1bn}是等差数列；（3）设λ=2，求证：b1+b2+…+bn＜23．-数学试题及答案

1、试题题目：设各项均不为0的数列{an}的前n项之乘积是bn，且λan+bn=1（λ∈R..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

设各项均不为0的数列{a_n}的前n项之乘积是b_n，且λa_n+b_n=1（λ∈R，λ＞0）
（1）探求a_n、b_n、b_n-1之间的关系式；
（2）设λ=1，求证{

1

bn

}是等差数列；
（3）设λ=2，求证：b₁+b₂+…+b_n＜

2

3

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由数列{a_n}的前n项之乘积是b_n，得a₁=b₁，a_n=

bn

bn-1

（2分）
（2）证明：令n=1，得λa₁+b₁=1，又a₁=b₁，∴b₁=

1

λ+1

∵λ=1，∴b₁=

1

2

（3分）
当n≥2时，将a_n=

bn

bn-1

代入a_n+b_n=1中，得

bn

bn-1

+b_n=1，则

1

bn

=

1

bn-1

+1 （4分）
∴数列{

1

bn

}是以2为首项，以1为公差的等差数列
（3）∵2a₁+b₁=1，a₁=b₁∴3b₁=1，b₁=

1

3

（5分）
当λ=2时，将a_n=

bn

bn-1

代入2a_n+b_n=1中，得2

bn

bn-1

+b_n=1
则

1

bn

=2

1

bn-1

+1 （6分）
∴

1

bn

+1=2（

1

bn-1

+1）（7分）
∴{

1

bn

+1}是以

1

b1

+1=4为首项，以2为公比的等比数列（8分）
∴

1

bn

+1=2ⁿ⁺¹
∴bn=

1

2n+1-1

∵

1

2n+1-1

＜

1

2n+1-2

=

1

2

?

1

2n-1

∴bn＜

1

2

bn-1（n≥2）
∴b₁+b₂+…+b_n≤b₁+

1

2

b₁+…+

1

2n-1

b₁=b₁?

1-

1

2n

1-

1

2

＜b₁?

1

2

=

2

3

∴b₁+b₂+…+b_n＜

2

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设各项均不为0的数列{an}的前n项之乘积是bn，且λan+bn=1（λ∈R..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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