设数列{an}的前n项和为Sn，若对于所有的自然数n，都有Sn=n(a1+an)2，证明{an}是等差数列．-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}的前n项和为Sn，若对于所有的自然数n，都有Sn=n(a1+an..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，若对于所有的自然数n，都有Sn=

n(a1+an)

2

，证明{a_n}是等差数列．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：法一：
令d=a₂-a₁．
下面用数学归纳法证明a_n=a₁+（n-1）d（n∈N）．
（1）当n=1时上述等式为恒等式a₁=a₁．
当n=2时，a₁+（2-1）d=a₁+（a₂-a₁）=a₂，等式成立．
（2）假设当n=k（k≥2）时命题成立，a_k=a₁+（k-1）d．由题设，有
S_k=

k(a1+ak)

2

，S_k+1=

(k+1)(a1+ak+1)

2

，又S_k+1=S_k+a_k+1
∴（k+1）

(a1+ak+1)

2

=

k(a1+ak)

2

+ak+1
把a_k=a₁+（k-1）d代入上式，得
（k+1）（a₁+a_k+1）=2ka₁+k（k-1）d+2a_k+1．
整理得（k-1）a_k+1=（k-1）a₁+k（k-1）d．
∵k≥2，∴a_k+1=a₁+kd．即当n=k+1时等式成立．
由（1）和（2），等式对所有的自然数n成立，从而{a_n}是等差数列
法二：
当n≥2时，由题设，Sn-1=

(n-1)(a1+an-1)

2

，Sn=

n(a1+an)

2

．
所以a_n=S_n-S_n-1=

n(a1+an)

2

-

(n-1)(a1+an-1)

2

同理有
a_n+1=

(n+1)(a1+an-1)

2

-

n(a1+an)

2

．
从而
a_n+1-a_n=

(n+1)(a1+an-1)

2

-n（a₁+a_n）+

(n-1)(a1+an-1)

2

，
整理得a_n+1-a_n=a_n-a_n-1═a₂-a₁
从而{a_n}是等差数列．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}的前n项和为Sn，若对于所有的自然数n，都有Sn=n(a1+an..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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