设f（x）=x3，等差数列{an}中a3=7，a1+a2+a3=12，记Sn=f(3an+1)，令bn=anSn，数列{1bn}的前n项和为Tn．（Ⅰ）求{an}的通项公式和Sn；（Ⅱ）求证：Tn＜13；（Ⅲ）是否存在正整数m，n，且1＜m-数学试题及答案

1、试题题目：设f（x）=x3，等差数列{an}中a3=7，a1+a2+a3=12，记Sn=f(3an+1)，令..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

设f（x）=x³，等差数列{a_n}中a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，记S_n=f(

3	an+1

)，令b_n=a_nS_n，数列{

1

bn

}的前n项和为T_n．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式和S_n；
（Ⅱ）求证：Tn＜

1

3

；
（Ⅲ）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．

试题来源：长宁区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，由a₃=a₁+2d=7，a₁+a₂+a₃=3a₁+3d=12．
解得a₁=1，d=3∴a_n=3n-2
∵f（x）=x³∴S_n=f(

3	an+1

)=a_n+1=3n+1．
（Ⅱ）b_n=a_nS_n=（3n-2）（3n+1）
∴

1

bn

=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

(

1

3n-2

-

1

3n+1

)∴Tn=

1

3

(1-

1

3n+1

)＜

1

3

（Ⅲ）由（2）知，Tn=

n

3n+1

∴T1=

1

4

，Tm=

m

3m+1

，Tn=

n

3n+1

∵T₁，T_m，T_n成等比数列．
∴(

m

3m+1

)2=

1

4

n

3n+1

即

6m+1

m2

=

3n+4

n

当m=1时，7=

3n+4

n

，n=1，不合题意；当m=2时，

13

4

=

3n+4

n

，n=16，符合题意；
当m=3时，

19

9

=

3n+4

n

，n无正整数解；当m=4时，

25

16

=

3n+4

n

，n无正整数解；
当m=5时，

31

25

=

3n+4

n

，n无正整数解；当m=6时，

37

36

=

3n+4

n

，n无正整数解；
当m≥7时，m²-6m-1=（m-3）²-10＞0，则

6m+1

m2

＜1，而

3n+4

n

=3+

4

n

＞3，
所以，此时不存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比数列．
综上，存在正整数m=2，n=16，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比数列．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f（x）=x3，等差数列{an}中a3=7，a1+a2+a3=12，记Sn=f(3an+1)，令..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：