已知数列{an}前n项和Sn=2an+2n，（Ⅰ）证明数列{an2n-1}是等差数列，并求{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=(n-2011)ann+1，求数列{bn}是否存在最大值项，若存在，说明是第几项，若不存在-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}前n项和Sn=2an+2n，（Ⅰ）证明数列{an2n-1}是等差数列，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}前n项和Sn=2an+2n，
（Ⅰ）证明数列{

an

2n-1

}是等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=

(n-2011)an

n+1

，求数列{b_n}是否存在最大值项，若存在，说明是第几项，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设T_n=|S₁|+|S₂|+|S₃|+…+|S_n|，试比较

Tn+Sn

2

与

2-n

1+n

an的大小．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由Sn=2an+2n①，得Sn+1=2an+1+2n+1②，
②-①得，a_n+1=2a_n+1-2a_n+2ⁿ，即an+1-2an=-2n，
则

an+1

2n

-

an

2n-1

=

an+1-2an

2n

=

-2n

2n

=-1，为常数，
所以数列{

an

2n-1

}是等差数列，且公差为-1，
由S₁=2a₁+2解得a₁=-2，
所以

an

2n-1

=-2+（n-1）?（-1）=-n-1，
所以an=-(n+1)?2n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，bn=

(n-2011)an

n+1

=

(n-2001)[-(n+1)]?2n-1

n+1

=?2^n-1，
则bn+1=(2010-n)?2n，当n=2011时，b_n=0，
当n＞2011时，b_n＜0，令

bn+1

bn

=

(2010-n)?2n

(2011-n)?2n-1

=

2(2010-n)

2011-n

≥1，得n＞2011，所以b_n＞b_n+1，即b₂₀₁₂＞b₂₀₁₃＞…，
当n≤2010时，b_n＞0，令

bn+1

bn

=

(2010-n)?2n

(2011-n)?2n-1

=

2(2010-n)

2011-n

≥1，解得n≤2009，
所以n≤2009时，b_n+1≥b_n，所以0＜b₁＜b₂＜b₃＜…＜b₂₀₀₉=b₂₀₁₀，
综上，b₁＜b₂＜b₃＜…b₂₀₁₂＞b₂₀₁₃＞…，
所以数列{b_n}存在最大值项，为第2009项或2010项；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，Sn=2an+2n=2[-（n+1）?2^n-1]+2ⁿ=-n?2ⁿ，
所以|S_n|=n?2ⁿ，
则T_n=|S₁|+|S₂|+|S₃|+…+|S_n|=1?2¹+2?2²+3?2³+…+n?2ⁿ①，
2T_n=2²+2?2³+3?2⁴+…+n?2ⁿ⁺¹②，
①-②得，-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n?2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n?2n+1=（1-n）?2ⁿ⁺¹-2，
所以T_n=（n-1）?2ⁿ⁺¹+2，
所以

Tn+Sn

2

=

(n-1)2n+1+2-n?2n

2

=

(n-2)?2n+2

2

=（n-2）?2^n-1+1，
又

2-n

n+1

an=

2-n

n+1

?[-(n+1)?2n-1]=（n-2）?2^n-1，
所以

Tn+Sn

2

＞

2-n

n+1

an．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}前n项和Sn=2an+2n，（Ⅰ）证明数列{an2n-1}是等差数列，..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：