数列{an}满足a1=2，an+1=（λ-3）an+2n，（n=1，2，3…）．（Ⅰ）当a2=-1时，求实数λ及a3；（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{an}为等差数列？若存在，求出其通项公式，若不存在，说明理由；（-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}满足a1=2，an+1=（λ-3）an+2n，（n=1，2，3…）．（Ⅰ）当a2=-1时..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ，（n=1，2，3…）．
（Ⅰ）当a₂=-1时，求实数λ及a₃；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{a_n}为等差数列？若存在，求出其通项公式，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）求数列{a_n}的通项公式．

试题来源：海淀区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵a₁=2，a₂=-1，a₂=（λ-3）a₁+2，
∴λ=

3

2

，故a₃=-

3

2

a2+2 ，
所以a₃=

11

2

．…（3分）
（Ⅱ）∵a₁=2，a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ∴a₂=（λ-3）a₁+2=2λ-4…（4分）
a₃=（λ-3）a₂+4=2λ²-10λ+16…（5分）
若数列{a_n}为等差数列，则a₁+a₃=2a₂∴λ²-7λ+13=0…（6分）
∵△=49-4×13＜0∴方程没有实根，…（7分）
故不存在实数λ，使得数列{a_n}为等差数列．…（8分）
（Ⅲ）∵a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ，a₁=2
若λ=3，则a_n=2^n-1（n≥2）； …（9分）
若λ≠3，∴a_n=（λ-3）a_n-1+2^n-1
=（λ-3）[（λ-3）a_n-2+2^n-2]+2^n-1
=（λ-3）{（λ-3）[（λ-3）a_n-3+2^n-3]+2^n-2}+2^n-1
…
=（λ-3）^n-1a₁+（λ-3）^n-2?2+（λ-3）^n-3?2²+…+（λ-3）?2^n-2+2^n-1
=（λ-3）^n-1?2+（λ-3）^n-2?2+（λ-3）^n-3?2²+…+（λ-3）?2^n-2+2^n-1
（n≥2）…（11分）
则数列（λ-3）^n-1?2，（λ-3）^n-2?2，（λ-3）^n-3?2²，…，（λ-3）?2^n-2，2^n-1
从第二项起，是一个首项为2（λ-3）^n-2，公比为

2

λ-3

的等比数列．
如果

2

λ-3

=1，即λ=5时，a_n=2（5-3）^n-1+（n-1）（5-3）^n-2?2=2ⁿ+（n-1）2^n-1=（n+1）?2^n-1；
当n=1时也成立．
如果

2

λ-3

≠1，即λ≠5时，an=2(λ-3)n-1+

2?(λ-3)n-2[1-(

2

λ-3

)n-1]

1-

2

λ-3

=2(λ-3)n-1+

(λ-3)n-1?2-2n

λ-5

=

2λ-8

λ-5

(λ-3)n-1-

2n

λ-5

当n=1时也成立．
故数列{a_n}的通项公式为：当λ=3时，a_n=

2n-1n≥2

2n=1

；
当λ=5时，a_n=（n+1）?2^n-1；
当λ≠5且λ≠3时，a_n=

2λ-8

λ-5

(λ-3)n-1-

2n

λ-5

．…（14分）
说明：其他正确解法按相应步骤给分．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}满足a1=2，an+1=（λ-3）an+2n，（n=1，2，3…）．（Ⅰ）当a2=-1时..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：