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1、试题题目：在△ABC中，D为BC中点，cos∠BAD=255，cos∠CAD=31010．求（1）∠BAC的大..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-02-11 07:30:00

试题原文

在△ABC中，D为BC中点，cos∠BAD=
2
5
5
，cos∠CAD=
3
10
10
．
求（1）∠BAC的大小；
（2）∠ABC的大小和
AC
AD
的值．

  试题来源：不详   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：正弦定理



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（1）由题意得：sin∠BAD=
5
5
，sin∠CAD=
10
10
，（2分）
故cos∠BAC=cos（∠BAD+∠CAD）
=cos∠BADcos∠CAD-sin∠BADsin∠CAD=
2
5
5
.
3
10
10
-
5
5
.
10
10
=
2
2
（4分）
∵0＜∠BAC＜π
∴∠BAC=
π
4
．                                                  （6分）
（2）法1：先求∠ABC
由D为BC中点及三角形面积公式得：S△BAD=S△CAD
即
1
2
AB?ADsin∠BAD=
1
2
AC?ADsin∠CAD，故AC=
2
AB，（9分）
在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB?ACcos∠BAC
化简可得AB=BC，故△ABC为等腰直角三角形，即∠ABC=
π
2
．                （11分）
从而易得
AC
AD
=
2
2
5
=
2
10
5
（14分）
法2：先求
AC
AD

在△ABC中，由正弦定理得：
AC
sin∠ABC
=
BC
sin∠BAC
…（1）
在△ABD中，由正弦定理得：
AD
sin∠ABC
=
BD
sin∠BAD
…（2）（8分）
由（1）（2）及D为BC中点可得
AC
AD
=2?
5
5
2
2
=
2
10
5
，（10分）
设AC=2
10
m，则AD=5m，在△ACD中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD?ACcos∠DAC
可解得CD=
5
m，故BC=2
5
m，（12分）
故△ABC为等腰直角三角形，即∠ABC=
π
2
．                               （14分）
法3：先求
AC
AD

取AC中点E，连接DE，则∠ADE=∠BAD．
在△ADE中，由正弦定理得：
DE
sin∠DAE
=
AE
sin∠ADE
（8分）
，可得
AE
AD
=
10
5
，故
AC
AD
=
2
10
5
，（10分）
以下解法同法2
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在△ABC中，D为BC中点，cos∠BAD=255，cos∠CAD=31010．求（1）∠BAC的大..”的主要目的是检查您对于考点“高中正弦定理”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中正弦定理”。


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