设n是自然数，fn（x）=xn+1-x-n-1x-x-1（x≠0，±1），令y=x+1x．（1）求证：fn+1（x）=yfn（x）-fn-1（x），（n＞1）（2）用数学归纳法证明：fn（x）=yn-C1n-1yn-2+…+(-1)iCin-iyn-2i+…+(-1)n2，(i=-数学试题及答案

1、试题题目：设n是自然数，fn（x）=xn+1-x-n-1x-x-1（x≠0，±1），令y=x+1x．（1）求证..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

设n是自然数，f_n（x）=

xn+1-x-n-1

x-x-1

（x≠0，±1），令y=x+

1

x

．
（1）求证：f_n+1（x）=yf_n（x）-f_n-1（x），（n＞1）
（2）用数学归纳法证明：
f_n（x）=

yn-

C

1n-1

yn-2+…+(-1)i

C

in-i

yn-2i+…+(-1)

n

2

，(i=1，2，…，

n

2

，n我偶数)

yn-

C

1n-1

yn-2+…+(-1)i

C

in-i

+…+(-1)

n-1

2

C

n-1

2

n+1

2

y，(i=1，2，…，

n-1

2

，n为奇数)

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）∵f_n（x）=

xn+1-x-n-1

x-x-1

，y=x+

1

x

∴yf_n（x）-f_n-1（x）=（x+

1

x

）×

xn+1-x-n-1

x-x-1

-

xn-x-n

x-x-1

=

xn+2-x-n-2

x-x-1

=f_n+1（x）
（2）f₁（x）=x+

1

x

，f₂（x）=x²+1+x^-2=y²-1，故命题对n=1，2成立
设n=m（m≥2，m为正整数，命题成立，现证命题对于n=m+1成立
①m为偶数，则m+1为奇数，由归纳假设知，对于n=m及n=m-1，有
f_m（x）=y^m-

C

1m-1

ym-2+…+…+（-1）ⁱ

C

im-i

y^m-2i+…+(-1)

m

2

①
f_m-1（x）=y^m-1-

C

1m-1

ym-3+…+（-1）^i-1

C

i-1m-i

y^m+1-2i+…+(-1)

m-2

2

C

m-2

2

m

2

y ②
∴yf_m（x）-f_m-1（x）=y^m+1

-C

1m+1-1

ym-1+…+（-1）ⁱ

C

im-i+1

y^m+1-2i+…+(-1)

m

2

C

m

2

m

2

+1

y
即命题对n=m+1成立．
②若m为奇数，则m+1为偶数，由归纳假设知，对于n=m及n=m-1，有
f_m（x）=y^m-1-

C

1m-2

ym-2+…+…+（-1）ⁱ

C

im-i

y^m-2i+…+(-1)

m-1

2

C

m-1

2

m-1

2

y③
f_m-1（x）=y^m-1-

C

1m-2

ym-3+…+（-1）^i-1

C

i-1m-i

y^m+1-2i+…+(-1)

m-1

2

C

m-1

2

m-1

2

④
用y乘③减去④，同上合并，并注意最后一项常数项为-(-1)

m-1

2

C

m-1

2

m-1

2

=(-1)

m+1

2

．
于是得到yf_m（x）-f_m-1（x）=y^m+1-C_m¹y^m-1+…+(-1)

m+1

2

，即仍有对于n=m+1，命题成立
综上所述，知对于一切正整数n，命题成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设n是自然数，fn（x）=xn+1-x-n-1x-x-1（x≠0，±1），令y=x+1x．（1）求证..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：