已知函数f（x）=logmx（mm为常数，0＜m＜1），且数列{f（an）}是首项为2，公差为2的等差数列．（1）若bn=an?f（an），当m=22时，求数列{bn}的前n项和Sn；（2）设cn=an?lgan，如果{cn}中的每-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=logmx（mm为常数，0＜m＜1），且数列{f（an）}是首项为2，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=log_mx（mm为常数，0＜m＜1），且数列{f（a_n）}是首项为2，公差为2的等差数列．
（1）若b_n=a_n?f（a_n），当m=

2

时，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（2）设c_n=a_n?lga_n，如果{c_n}中的每一项恒小于它后面的项，求m的取值范围．

试题来源：惠州一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意得f（a_n）=2+2（n-1）=log_ma_n，可得2n=log_ma_n，…（1分）
∴a_n=m²ⁿ．…（2分）
b_n=a_n?f（a_n）=2n?m²ⁿ．
∵m=

2

，∴b_n=a_n?f（a_n）=2n?（

2

）²ⁿ=n?（

1

2

）^n-1，…（3分）
∴S_n=1?（

1

2

）⁰+2?（

1

2

）¹+3?（

1

2

）²+…+n?（

1

2

）^n-1，①

1

2

S_n=1?（

1

2

）¹+2?（

1

2

）²+3?（

1

2

）³+…+n?（

1

2

）ⁿ，②…（4分）
①-②，得

1

2

S_n=（

1

2

）⁰+（

1

2

）¹+（

1

2

）²+…+（

1

2

）^n-1-n?（

1

2

）ⁿ=

1-

1

2n

1-

1

2

-n?(

1

2

)n…（6分）
∴化简得：S_n=-（n+2）（

1

2

）^n-1+4 …（7分）
（2）由（Ⅰ）知，c_n=a_n?lga_n=2n?m²ⁿlgm，要使c_n＜c_n+1对一切n∈N^*成立，
即nlgm＜（n+1）m²lgm对一切n∈N^*成立．…（8分）
∵0＜m＜1，可得lgm＜0
∴原不等式转化为n＞（n+1）m²，对一切n∈N^*成立，
只需m²＜（

n

n+1

）_min即可，…（10分）
∵h（n）=

n

n+1

在正整数范围内是增函数，∴当n=1时，（

n

n+1

）_min=

1

2

．…（12分）
∴m²＜

1

2

，且0＜m＜1，，∴0＜m＜

2

．…（13分）
综上所述，存在实数m∈（0，

2

）满足条件．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=logmx（mm为常数，0＜m＜1），且数列{f（an）}是首项为2，..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：