已知数列{an}中，a1=1，an+1=an2an+1（n∈N）．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）设：2bn=1an+1求数列{bnbn+1}的前n项的和Tn；（3）已知P=（1+b1）（1+b3）（1+b5）…（1+b2n-1），求证：Pn＞2n+-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}中，a1=1，an+1=an2an+1（n∈N）．（1）求数列{an}的通项公..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

2an+1

（n∈N）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设：

2

bn

=

1

an

+1 求数列{b_nb_n+1}的前n项的和T_n；
（3）已知P=（1+b₁）（1+b₃）（1+b₅）…（1+b2_n-1），求证：Pn＞

2n+1

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由a_n+1=

an

2an+1

得：

1

an+1

-

1

an

=2且

1

a1

=1，
所以知：数列{

1

an

}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
所以

1

an

=1+2(n-1)=2n-1，得an=

1

2n-1

．
（2）由

2

bn

=

1

an

+1得：

2

bn

=2n-1+1=2n，∴bn=

1

n

，
从而：bnbn+1=

1

n(n+1)

，
则 T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
（3）已知P_n=（1+b₁）（1+b₃）（1+b₅）…（1+b_2n-1）=

2

1

×

4

3

×

6

5

×…×

2n

2n-1

，
∵（4n）²＜（4n）²-1，∴

2n+1

2n

＜

2n

2n-1

设：Tn=

3

2

×

5

4

×…×

2n+1

2n

，则P_n＞T_n
从而：Pn2＞PnTn=

2

1

×

3

2

×

4

3

×…×

2n

2n-1

×

2n+1

2n

=2n+1，
故：Pn＞

2n+1

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}中，a1=1，an+1=an2an+1（n∈N）．（1）求数列{an}的通项公..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：