在数列{an}中，a1=1，2an+1=(1+1n)2an．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn=an+1-12an，求数列{bn}的前n项和Sn；（Ⅲ）求数列{an}的前n项和Tn．-数学试题及答案

1、试题题目：在数列{an}中，a1=1，2an+1=(1+1n)2an．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

在数列{a_n}中，a₁=1，2an+1=(1+

1

n

)2an．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令bn=an+1-

1

2

an，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）求数列{a_n}的前n项和T_n．

试题来源：四川试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由条件得

an+1

(n+1)2

=

1

2

?

an

n2

，又n=1时，

an

n2

=1，
故数列{

an

n2

}构成首项为1，公式为

1

2

的等比数列．从而

an

n2

=

1

2n-1

，即an=

n2

2n-1

．
（Ⅱ）由bn=

(n+1)2

2n

-

n2

2n

=

2n+1

2n

得Sn=

3

2

+

5

22

+…+

2n+1

2n

，

1

2

Sn=

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

+

2n+1

，
两式相减得：

1

2

Sn=

3

2

+2(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-

2n+1

，所以Sn=5-

2n+5

2n

．
（Ⅲ）由Sn=(a2+a3+…+an+1)-

1

2

(a1+a2+…+an)得Tn-a1+an+1-

1

2

Tn=Sn．
所以T_n=2S_n+2a₁-2a_n+1=12-

n2+4n+6

2n-1

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在数列{an}中，a1=1，2an+1=(1+1n)2an．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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