数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn+1=2Sn+n+1，n∈N．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=nan+1-an，设数列{bn}的前n项和为Tn，n∈N*，试判断Tn与2的关系，并说明理由．-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn+1=2Sn+n+1，n∈N．（Ⅰ）求数列{a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-29 07:30:00

试题原文

数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n+1=2S_n+n+1，n∈N．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=

n

an+1-an

，设数列{b_n}的前n项和为T_n，n∈N^*，试判断T_n与2的关系，并说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵a₁=1，S_n+1=2S_n+n+1，
∴S_n+1+（n+1）+2=2（S_n+n+2），
并且S₁+1+2=1+1+2=4，数列{S_n+n+1}组成一个以4为首项，2为公比的等比数列，
∴S_n+n+1=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，
S_n=2ⁿ⁺¹-n-2．
∴a₁=S₁=2²-1-2=1，
a_n=S_n-S_n-1
=（2ⁿ⁺¹-n-2）-（2ⁿ-n-1）=2ⁿ-1，
当n=1时，2ⁿ-1=1=a₁，
∴a_n=2ⁿ-1．
（Ⅱ）∵a_n=2ⁿ-1，
∴bn =

n

an+1-an

=

n

2 n+1-2n

=

n

2n

，
∴Tn=1×

1

2

+2×

1

2 2

+…+n×

1

2 n

，①

1

2

Tn=1×

1

2 2

+2×

1

2 3

+…+n×

1

2 n+1

，②
①-②，得

1

2

Tn=

1

2

+

1

2 2

+

1

2 3

+…+

1

2 n

-n×

1

2 n+1

=

1

2

(1-

1

2 n

)

1-

1

2

-n×

1

2 n+1

=1-

1

2 n

-

n

2 n+1

，
∴Tn=2-(2+n)(

1

2

)n
∴T_n＜2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn+1=2Sn+n+1，n∈N．（Ⅰ）求数列{a..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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